4.5三角函数的图象和性质一、明确复习目标1.掌握正、余弦函数，正余切函数的性质;2.能把一般的三角函数变形为y=Asin(ωx+φ)的形式,并能求解它的周期、最值、单调区间以及奇偶性、图象的对称性等问题。二．建构知识网络1．三角函数的性质：(结合图象理解,表中）)y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域RR{x∈R|x≠kπ}值域[-1,1][-1,1]RR周期2π2πππ奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数增区间无减区间无(kπ,kπ+π)对称轴x=kπ无对称中心(,0)2.函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的性质：周期：;单调递增区间:由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+（k∈Z）可解得.单调递减区间.由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+](k∈Z）可解得.类似可求,对称轴和对称中心.特别提醒：若A或ω是负数，单调区间应在相反的单调区间内求。y=Acos(ωx+φ)也类似。3.三角函数求最值的方法:化Asin(ωx+φ),换元法,配方法,数形结合,不等式法,单调性法等.三、双基题目练练手1.(2005浙江)已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是()(A)1(B)－1(C)2k＋1(D)－2k＋12．(2006全国)函数的单调增区间为()ABCD3．（2005江西）设函数为（）A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，数小正周期为D．非周期函数4．已知sinα+cosβ=1，则y=sin2α+cosβ的取值范围是__________.5.为了使y=sinωx（ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是6.，的最小正周期是________．7.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、；③若x1＞x2，则sinx1＞sinx2；④若f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）=0.其中正确命题的序号是____________.◆答案:1-3.ACA;4.y=sin2α－sinα+1=（sinα－）2+. cosβ=1－sinα.∴sinα∈［0，1］∴y∈［，1］.(本题易错解为y=sin2α+1－sinα，sinα∈［－1，1］，求y的取值范围.)5.49×T≤1，即×≤1，∴ω≥.答案思考：若条件改为在［x0，x0+1］上至少出现50次最大值呢？6.化为一个角的三角数周期是π；7.答案：④四、经典例题做一做【例1】（2003春北京）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.解：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠+（k∈Z）.所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠+，k∈Z}.因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（－x）===f（x），所以f（x）是偶函数.又当x≠+（k∈Z）时，f（x）===3cos2x－1=，所以f（x）的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}.◆提炼方法：对复杂的函数式,要先化简为Asin(ωx+φ)+m,或Acos(ωx+φ)+m的形式,再讨论性质.【例2】锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠，求tany的最大值.和取最大值时角x的集合.解： sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.∴tany====≤=，当且仅当tanx=时取等号.∴tany的最大值为.对应角x的集合为◆提炼方法：先由已知变换出tany与x的函数关系，再用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。【例3】（2006辽宁）已知函数，.求:（I）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；（II）函数的单调增区间.（I）解法一：∴当，即时，取得最大值因此，取得最大值的自变量的集合是解法二：∴当，即时，取得最大值因此，取得最大值的自变量的集合是（II）解：由题意得，即因此，的单调增区间是【例4】是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由。解：当时，，令则，综上知，存在符合题意。◆思维点拨：化，闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。【研讨.欣赏】（2003江苏）已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值。解：由是偶函数，得，即，所以,对任意x都成立，且，所以得，依题设，所以解得.由的图象关于点M对称，得，取得所以，…，….当k=0时，上是减函数；当k=1时，上是减函数；当时，上不是单调函数.所以，综合得.五．提炼总结以为师1.熟记三角函数的图象与各性质很重要.2.设参可以帮助理解,熟练了以后可以省却这个过程.3.要善于运用图象解题，数形结合，数形转化。同步练习4.5...
