第5课时三垂线定理斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中．变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度．解：BC＝30，AB＝BCtan30°＝10例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1分别为A1A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1BC1；求证：A2CA1B1．解：取A2B1中点D1 A2C1＝B1C1∴C1D1⊥A2B1又A1A2⊥面A2B1C1∴C1D1⊥A1A2∴C1D1⊥面A1A2B1B∴BD1是BC1在面A2B上的射影由A1B1⊥BC1∴BD1⊥A1B1取A1B中点D同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影 A2DBD1∴A2DBD1是平行四边形由BD1⊥A1B1∴A1B1⊥A2D∴A2C⊥A1B1变式训练2：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，用心爱心专心1B1A1BCA4A1A2B1C1A3A2C1CBDABCA1C1B1MNCPBA基础过关且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长，设这条最短路线与CC1交点N，求：(1)PC和NC的长；(2)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小．解：将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得x＝2∴PC＝P1C＝2 ∴NC＝(2)连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP1∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角)在Rt△PHC中 ∠PCH＝∠PCP1＝60°∴CH＝＝1在Rt△PHC中tanNHC＝故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan例3.如图在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．(1)试确定点F的位置，使得D1E面AB1F；(2)当D1E面AB1F时，求二面角C1－EF－A大小．解：(1)连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影 AB1⊥A1B∴D1E⊥AB1于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影∴D1E⊥AFDE⊥AF ABCD是正方形，E是BC的中点∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF即当点F是CD的中点时，D1E⊥面AB1F(2)当D1E⊥平面AB1F时，由(1)知点F是CD的中点，又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD连AC，设AC与EF交点H，则CH⊥EF，连C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影∴C1H⊥EF即∠C1HC是二面角C1－EF－C的平面角在Rt△C1HC中 C1C＝1CH＝AC＝∴tan∠C1HC＝∴∠C1HC＝arctan2∴∠AHC1＝π－arctan2用心爱心专心2D1C1B1A1BADFCE变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a，(1)求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；(2)求证：PQ⊥AD．(1)解：过Q作QM∥CC1交BC于M则QM⊥面ABCD∴∠QPM就是所求角 即∴∴∴PM∥AB在Rt△PQM中PM＝QM＝∴tan∠QPM＝＝＝＋1(2)由(1)可知PM⊥BCPQ在面ABCD内的射影是PM.∴PQ⊥BC又AD∥BC∴PQ⊥AD例4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；(3)AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为．(1)证明： AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E．(2)设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1＝，AD1＝，＝··＝，而＝·AE·BC＝．∴＝·DD1＝·h∴×1＝×h，∴h＝(3)过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1－EC－D的平面角．设AE＝x，则BE＝2－x在Rt△D1DH中， ∠DHD1＝，∴DH＝1 在Rt△ADE中，DE＝，∴在Rt△DHE中，EH＝x，在Rt△DHC中，CH＝，CE＝，则x＋＝，解得x＝2－．用心爱心专心AA1C1D1BCEDB13即当x＝2－时，二面角为D1－EC－D的大小为．变式训练4：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝a．(1)求证：PD⊥面ABCD；(2)求直线PB与AC所成角；(3)求二面角A－PB－D大小．证明：(1) PC＝aPD＝DC＝a∴PD2＋DC2＝PC2∴△PDC是直角三角形∴PD⊥DC同理PD⊥DA又 DA∩DC＝D∴PD⊥平面ABCD(2)连BD ABCD是正方形∴AC⊥BD又 PD⊥平面ABCDAC⊥PB(三垂线定理)∴PB与AC所成角为90°(3)设AC∩BD＝0作AE⊥PB于E，连OE AC⊥BDPD⊥平面...
