第二章第三节函数的值域与最值教案教学目的：1．理解函数的值域与最值概念，掌握基本的求解方法2．应熟练掌握一次函数、二次函数，指、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础．3.掌握常用的求最值与值域的方法。教学重点：函数的值域与最值的求法。教学难点：函数的值域与最值的求法。教学方法：通过例题讲解，讲练结合，在问题中掌握方法。学法指导：通过理解例题的方法，结合练习，掌握常用的基本方法。媒体设计：Powerpoint幻灯片（小结内容）教学过程：一、知识点讲解：1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域．2．求函数值域常用的方法有：(1)利用函数的单调性：若是[a，b]上的单调增(减)函数，则、分别是在区间[a，b]上的最小(大)值，最大(小)值．(2)利用配方法(3)利用反函数定义域是原函数的值域(4)利用函数的有界性(5)利用“判别式”法形如(a、p至少有一个不为零)的函数，求其值域，可利用“△”法．(6)利用换元法(7)利用“均值定理”(8)几何法利用数形结合的思想方法，通过函数图形间的关系，利用平面几何知识求值域．(9)导数法：利用导数与函数的连续性求较复杂函数的极值和最值，然后求出值域．二、例题分析：（一）基础知识扫描1．函数，(－1≤x≤1)的最小值为A.B．3C．-1D．12．函数(0≤x≤4)的值域是()A．[-2，2]B．[1，2]C．[0，2]D．3．函数的值域是()A．(0，3]B．(0，1)C.D．(－∞，2)∪(2，＋∞)4．函数的值域是()A.RB.{y∣y≠1且y∈R}C.D．{y∣y≠0且y∈R}5．函数的值域为()A．[-3，0]B．(－∞，3]C．(0，3]D．[3，＋∞)6．已知函数的定义域为R，值域为[-2，2]，则的值域为()A．[-1，3]B．[-3，1]C．[-2，2]D．[－1，1]（二）典型题型分析：题型1：已知函数解析式求函数的值域．例1、求下列函数的值域．(1)(2）(3)(4)分析：观察所给函数解析式的结构特征，联想类比求函数值域的各种基本方法，以确定求函数值域的最佳途径．其中，题1可采用配方法；题2反函数法或分离系数法；题3换元法或单调性法；题4是典型的判别式法例2求下列函数的值域：(1)；(2)分析：（1）从而可以使用均值不等式求解；（2）由于令，因＝无解，故不能使用均值不等式，但是y为双钩函数，它在t≥1时为增函数。题型2、已知函数的解析式求函数的最值求函数最值的常用方法和求函数值域的常用方法基本上是相同的。事实上。如果在函数的值域中存在一个最小(大)数。这个数就是函数的最小(大)值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异．例3(1)(1998年上海市)求函数，的最大值．(2)(2000年春季高考)求函数y＝的最大值．分析：函数值域的求法多种多样，要仔细分析所给题目的特点，确定解法．(1)数形结合法；(2)换元法．例4(2003·北京市高考题)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形．要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为。说明：函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上．从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值．题型3、有关函数值域的逆向思维问题．例5(2002年长春市模拟题)已知函数的定义域为R．(1)求实数m的取值范围；(2)当m变化时，若y的最小值为求函数的值域．说明：本题要注意分类讨论，要分m=0和m≠0讨论．三、本节所涉及的思想·规律·方法小结：1．求函数值域没有通用方法或固定模式，要综合而灵活地运用各种方法．2．求函数值域常见的方法有：配方法、换元法、判别式法、利用函数单调性法、求反函数的定义域法、均值定理法、图象法、导数法等等．3．函数的值域常常化归为求函数的最值．4．函数最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上．四、作业：《绿色通道》P38—39五、课后记：
