第六节双曲线考点一双曲线的定义、标准方程[例1](1)(·天津高考)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______________．(2)(·辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．[自主解答](1)由抛物线y2＝8x可知其准线方程为x＝－2，所以双曲线的左焦点为(－2,0)，即c＝2；又因为离心率为2，所以e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2知b2＝3，所以该双曲线的方程为x2－＝1.(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5，所以|PQ|＝4b＝16>2a，又因为A(5,0)在线段PQ上，所以P，Q在双曲线的一支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：所以|PF|＋|QF|＝28.即△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.[答案](1)x2－＝1(2)44【互动探究】本例(2)“中若PQ的长等于虚轴长的2”“倍改为若PQ的长等于实轴长的2”倍，则结果如何？解：依题意知|PQ|＝4a＝12>2a.又 A(5,0)在线段PQ上，∴PQ在双曲线的一支上．同样|PF|－|PA|＝2a＝6，|QF|－|QA|＝2a＝6.∴|PF|＋|QF|＝24.∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝24＋12＝36.【方法规律】双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)“”在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件差的绝对值，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.B.C.D.解析：选C 由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，则cos∠F1PF2＝＝＝.2．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()A.B.C.D.解析：选A在△ABP中，由正弦定理知＝＝＝＝.考点二直线和双曲线的综合[例2](·全国高考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．[自主解答](1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，解得x＝±.由题设知，2＝，解得a2＝1.所以a＝1，b＝2.(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简，得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1x2＝.于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，|BF1|＝＝＝3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|，得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.故＝－，解得k2＝，从而x1x2＝－.由于|AF2|＝＝＝1－3x1，|BF2|＝＝＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.从而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．【方法规律】求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|.过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积．解：(1)由双曲线的方程，得a＝，b＝，∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．直线AB的方程为y＝(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.(2)直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.∴原点O到直线AB的距离为d＝＝.∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.高频考点考点三双曲线的几何性质及应用1．双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对双曲线几何性质的考查主要有以下几个命题角度：(1)求双曲线的...
