第三节平面向量的数量积及平面向量的应用[全盘巩固]1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于()A．2B．2C．4D．12解析：选B|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a＋b|＝2.2．(·金华模拟)平面向量a与b的夹角为60°，且a＝(2,0)，|b|＝1，则|a－b|＝()A.B.C．3D．4解析：选C|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos60°＝4＋1－2×2×1×＝3.3．(·福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.B．2C．5D．10解析：选C依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.4.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝()A．2B.C．－D.解析：选D建系如图．设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，＝(－xB,1)， ＝，∴xC－xB＝－xB⇒xC＝(1－)xB，yC＝，＝((1－)xB，)，＝(0，1)，·＝.5．已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是()A．[0,1]B．[－1,1]C．[－，]D．[0，]解析：选C由a、b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝，设a－b与c的夹角为θ，所以(a－b)·c＝|a－b||c|cosθ∈[－，]．6．(·福州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝()A.B.C.D.解析：选A以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)·(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.7．单位圆上三点A，B，C满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________．解析： A，B，C为单位圆上三点，∴||＝||＝||＝1，又＋＋＝0，∴＝＋，∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得cos〈，〉＝－，∴向量，的夹角为120°.答案：120°8.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P,且AP＝3，则·＝________.解析：设∠PAC＝θ，则·＝·2＝2|||·cosθ＝2||2＝2×32＝18.答案：189．(·浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．解析：当x＝0时，＝0，当x≠0时，2≤＝＝＝4，所以的最大值是2，当且仅当＝－时取到最大值．答案：210．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解： a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.∴λ>－.当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴解得λ＝0.即当λ＝0时，a与a＋λb共线，综上可知，实数λ的取值范围为∪(0∞，＋)．11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为2，4.(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.12．在△ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三条边，
π(舍)．∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2) |＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4， a＝c，∴cosB＝，而cosB＝－cos2C，∴
