双曲线的标准方程教学目标（1）了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；（2）能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．教学重点，难点（1）重点：双曲线的定义、标准方程；（2）难点：灵活运用定义和待定系数法求双曲线的标准方程．教学过程一．问题情境1．情境：我们知道，椭圆上的点到两个定点的距离的和等于常数．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．2．问题：双曲线上的点到两个定点距离的差的绝对值等于常数，那么，双曲线的标准方程是什么形式呢？二．学生活动设双曲线的焦距为，双曲线上任意一点到焦点，的距离的差的绝对值等于常数．以，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图），则，的坐标分别为．设为双曲线上任意义点，根据双曲线定义知，即．化简，得．∵，∴令，得，两边除以，得．由上述过程可知，双曲线上的点的坐标都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的点都在已知的双曲线上．三．建构数学双曲线的标准方程：焦点在轴上的双曲线的标准方程：，焦点在轴上的双曲线的标准用心爱心专心116号编辑方程：其中思考：怎样推导出焦点在轴上的双曲线标准方程？说明：（1）双曲线的标准方程是与选择的坐标系有关的，当且仅当选择对称轴为坐标轴时有其标准形式．（2）两个标准方程的区别：与的系数符号决定了焦点所在的坐标轴，当系数为正时焦点在轴上，当的系数为正时焦点在轴上，而与分母的大小无关．（3）以坐标轴为对称轴的双曲线可用方程表示．四．数学运用1．例题：例1．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到，的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．解由题意，可设双曲线的标准方程为．因为，所以因而所求双曲线的标准方程为．[变式]将条件中绝对值去掉，求双曲线的标准方程．例2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1），焦点在轴上；（2），经过点，焦点在轴上．解（1）依题意，且焦点在轴上，所以双曲线方程为（2）焦点在轴上的双曲线方程可设为，由，且经过点，可得解得．因此，所求双曲线的方程为．[变式]上题可不明确焦点所在的坐标轴．例3．已知两地相距，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处迟，设声速为．（1）爆炸点在什么曲线上？（2）求这条曲线的方程．解（1）设为爆炸点，由题意得．因为爆炸点离点比离点距离更用心爱心专心116号编辑远，所以爆炸点在以为焦点且距较近的双曲线的一支上．（如图）（2）如右图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系．设为曲线上一点．由，得．由，得．∴．∵，∴．因此，所求曲线的方程为．五．回顾小结：1．双曲线的标准方程；2．用定义和待定系数法求双曲线的方程．用心爱心专心116号编辑
