中考数学复习指导：相似三角形性质的应用1/5相似三角形性质的应用相似三角形的性质有着广泛的应用，本文将其常见应用举例说明如下：一.利用相似三角形性质计算例1已知如图1所示,RtABC中,90,C有一内接正方形DEFC，连结AF交DE于G，15,10.ACBC求:EG分析：欲求线段EG的长，考虑由条件有DE∥BC，于是，图中相似三角形较多，因此，可设法利用相似三角形的性质得到含有线段EG的比例式，由比例式列出方程，通过解方程求得线段EG的长.解：在RtABC中,90,CDEFC为其内接正方形，,.ADEACBAGEAFB.ADDEAEACCBAB设正方形的边长为x,则15,1510xx6.x,AGEAFB.AEGEABFB又156,15AEADABAC9,15GEFB912,.106155GEGE评注：利用相似形得到比例式，再由比例式求线段的长，这是求线段的一种重要方法.图1图2中考数学复习指导：相似三角形性质的应用2/5二.利用相似三角形性质证明两角相等例2已知:如图2所示,BDCE、是ABC的高,求证:.AEDACB分析：要证相交线型的图形中两个对应角,AEDACB只需有AEDACB即可.由BDCE、是高及A是公共角,易得,RtABDRtACE由此可得比例式.ADABAEAC再加上公共角A,即可得.AEDACB证明:BDCE、是高,90.ADBAEC又AA,ABDACE，.ABADACAE又AA，AEDACB，.AEDACB评注：利用“相似三角形的对应角相等”的方法，是证明角相等的一个重要途径,本题在证明三角形相似时，把已有的比例式ABADACAE换一个角度看,它们又成为另外两个三角形中的对应线段，从而使题目的思路豁然开朗.三.利用相似三角形性质证明比例式例3.如图3所示,已知:ABC中,90,,,CABADBCAEECED交AB的延长线于F.求证:.ABDFACFA分析:要证明结论成立,可考虑运用“相似三角形的对应边成比例”这一性质，从图上看，ABAC、在ABC中,FD和FA在ADF中.但这两个三角形很明显不相似.但由于90BACADBC，，通过证明不难得出.ABCDABDAC从而得到与ABAC中考数学复习指导：相似三角形性质的应用3/5有关的比例式；另外，因为有1C.DEEC，从而有21FDBC，因此有FBDFDA,得到与结论中FDFA有关的比例式,从而问题得证.证明:90BACADBC，，1.C又90BDAADC，BDAADC，.ABBDACAD（1）RtADC中,,AEEC.DEEC2.C又23,1C，13.,FF,FBDFDA,DFBDAFAD（2）由(1),(2)得,.ABDFACAF评注:本题的四条线段虽然在两个三角形中,但不能直接证明相似,因此需要找“中间比”，如本题中的“BDAD”，通过“中间比”的过渡使两个比相等，这种找“中间比”的方法是证明线段成比例的常用方法.图3图4四.利用相似三角形性质解决实际问题例4如图4,某同学拿着一支刻有厘米分划的小尺站在距旗杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上大约有24个分划恰好遮住旗杆.已知同学的臂长约为60cm,求旗杆的大致高度.中考数学复习指导：相似三角形性质的应用4/5分析：在把这一实际问题转化成数学问题后,结合图形,可得出,ABCADE而臂长60cm和人距旗杆底部的距离30米，分别可看作ABC和ADE的一组对应高，因此可运用相似三角形“对应高的比等于相似比”这一性质.解：由题意可得：,ABCADE.MCBCNEDE设DE高为x米,则：0.60.24,12.30xx答:旗杆大约高12米.评注：利用相似三角形的性质求物体的高度，是相似三角形性质最典型的应用.中考数学复习指导：相似三角形性质的应用5/5
