九年级数学上册专题突破讲练相似三角形的判定试题新版青岛版VIP专享VIP免费

相似三角形的判定一、比例线段与黄金分割1.在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。2.点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。方法归纳：比例的性质①基本性质：如果ab＝cd，那么ad＝bc。如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么ab＝cd。②合比性质：如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd。③等比性质：如果ab＝cd＝⋯＝mn（b＋d＋⋯＋n≠0），那么a＋c＋⋯＋mb＋d＋⋯＋n＝ab。二、相似三角形的判定相似三角形的判定分为：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等两三角形相似；③三边对应成比例两三角形相似。其中对两角对应相等两三角形相似的考查最为普遍。方法归纳：特殊三角形的相似：①所有的全等三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似。总结：1.了解黄金分割，了解线段的比、比例线段，理解并掌握比例线段的基本性质及简单应用。2.掌握两个三角形相似的判定条件。例题1如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件__________，使△ABC∽△ACD。（只填一个即可）解析：相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似。由此得出可添加的条件。解：由题意得，∠A＝∠A（公共角），则可添加：∠ACD＝∠ABC或∠ADC＝∠ACB，利用两角法可判定△ABC∽△ACD。或添加：ADAC＝ACAB，利用两边及其夹角法判定△ABC∽△ACD。答案：∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB或ADACACAB点拨：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一。例题2如图，P为线段AB的黄金分割点（PB＞PA），四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形，且面积分别为S1、S2。四边形APHM、四边形APEQ都为矩形，且面积分别为S3、S4。下列说法正确的是（）ABEFPQMHNS1S2S3S4A.S2＝5－12S1B.S2＝S3C.S3＝5－12SD.S4＝5－12S1解析：根据黄金分割的概念知：PB＝5－12AB，设AB＝x，PB＝5－12x，PA＝（1－5－12）x，分别求出个四边形的面积即可求出比例关系。解：根据黄金分割得出：PB＝5－12AB，设AB＝x，PB＝5－12x，PA＝（1－5－12）x＝3－52x，∴S1＝x2，S2＝（5－12x）2＝3－52x2，S3＝3－52x2，S4＝3－52x×5－12x＝（5－2）x2。∴S2＝3－52S1，S2＝S3，S3＝5＋12S4，S4＝（5－2）S1，故正确选项是B。答案：B点拨：本题主要考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形、矩形的面积进行分析计算，难度适中，计算繁琐，认真观察你会发现一些运算技巧，如计算S3÷S4时，我们用（3－52x2）÷（3－52x×5－12x）要简单很多，而不是用（3－52x2）÷[（5－2）x2]。识别三角形相似的思路：①有一对等角，找另一对等角等角的两边对应成比例；②有两边对应成比例，找夹角相等第三边成比例；③直角三角形，找一对锐角相等；④等腰三角形，找顶角相等一对底角相等底和腰成比例。满分训练如图所示，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。ABCDEFGHM求证：（1）△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长。解析：（1）证∠BAE＝∠CEF；（2）由条件易证∠ABH＝∠ECM而∠BAH＝∠CEM，故△ABH∽△ECM；（3）作MR⊥BC，则MR＝12RC，在Rt△EMR中求出EM的长。答案：（1）证明： 四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝∠ECF＝90°。 AE⊥EF，∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠AEB＋∠BAE＝90°。∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；（2）解：△ABH∽△ECM。证明： BG⊥AC，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，又∠BAG＋∠ECM＝90°，∴∠ABH＝∠ECM。由（1）知，∠BAH＝∠CEM，∴△ABH∽△ECM；（3）解：作MR⊥BC于点R，△CMR∽△CAB且△MRE是等腰直角三角形。 AB＝BE＝EC＝2，∴AB∶BC＝MR∶RC＝1∶2，∠AEB＝45°...