8.7双曲线一、选择题1．如果双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是()A.B．13C．5D.解析：由－＝1得a＝，b＝2，c＝5，e＝.设P到右准线的距离为d，根据双曲线的定义＝e，即d＝＝.答案：A2．已知点F1(－，0)、F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A.B.C.D．2解析：由已知条件知P点轨迹是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点实轴长为2的双曲线的左支，方程为x2－y2＝1(x≤－1)，令y＝可求得x＝－，因此|PO|＝＝.答案：A3．“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”是“ab＜0”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A4．某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A(－2,2)，B(，－)，则()A．曲线C可为椭圆也可为双曲线B．曲线C一定是双曲线C．曲线C一定是椭圆D．这样的曲线C不存在解析：设所求圆锥曲线的方程为mx2＋ny2＝1，根据已知条件：①－②整理得m＝－4n，∴m·n＜0或由①②解得答案：B二、填空题5．双曲线－＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________．解析：由－＝1，知c＝5，解方程组，得y2＝，即|y|＝.答案：6．设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为________．解析：设圆心P(x0，y0)，则|x0|＝＝＝4，代入－＝1，得y＝，∴|OP|＝＝.答案：7．已知F为双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支点上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．解析：如图，设F′为双曲线的右焦点，F′(4,0)，则|PF|＝|PF′|＋4，当P点在直线AF′上时，|PF|＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝9.答案：9三、解答题8．双曲线x2－y2＝a2的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上任意一点，求证|PF1|、|PO|、|PF2|成等比数列．证明：双曲线x2－y2＝a2的焦点分别为F1(－a,0)，F2(a,0)设双曲线上任意一点P(x0，y0)，则x－y＝a2∴|PF1||PF2|＝＝＝＝＝＝＝x＋y＝|PO|2.即|PF1|、|PO|、|PF2|成等比数列．9．已知双曲线b2x2－a2y2＝a2b2上有一点P，其焦点分别为F1、F2，且∠F1PF2＝α，求证：S△F1PF2＝b2cot.证明：由b2x2－a2y2＝a2b2得：－＝1.∴|F1F2|＝2c，且||PF1|－|PF2||＝2a，则|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.①根据余弦定理|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosα＝4c2.②②－①整理得：|PF1||PF2|＝，∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sinα＝b2＝b2cot.10．已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点．(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．解答：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是·＝＝.∴点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝2＋.∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.★选做题1．椭圆＋＝1(m＞n＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－aB.(m－a)C．m2－a2D.－解析：根据已知条件：|PF1|＋|PF2|＝2①||PF1|－|PF2||＝2②①2－②2得4|PF1||PF2|＝4m－4a，即|PF1||PF2|＝m－a.答案：A2．抛物线顶点在原点，准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线交点为M，求抛物线与双曲线方程．解答：根据已知条件可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∵M是抛物线与双曲线的交点，则3p＝6，即p＝2，所求抛物线方程为y2＝4x.由所求抛物线方程可知双曲线的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，即c＝1，又|MF1|＝＝，|MF2|＝＝，因此|MF1|－|MF2|＝2a，即a＝，b2＝c2－a2＝，所求双曲线方程为4x2－＝1.
