4.3平面向量的数量积及平面向量应用举例一、选择题1.(·辽宁)平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=()A.B.2C.4D.12解析:因为a=(2,0),|b|=1,所以|a|=2,a·b=2×1×cos60°=1,故|a+2b|==2.答案:B2.已知|a|=2,|b|=4,向量a与b的夹角为60°,当(a+3b)⊥(ka-b)时,实数k的值是()A.B.C.D.解析:依题意得a·b=|a|·|b|·cos60°=2×4×=4,因为(a+3b)⊥(ka-b),所以(a+3b)·(ka-b)=0,得ka2+(3k-1)a·b-3b2=0,即k+3k-1-12=0,解得k=.答案:C3.(·浙江)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=()A.B.C.D.解析:不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),对于(c+a)∥b,则有-3(1+m)=2(2+n);又c⊥(a+b),则有3m-n=0,则有m=-,n=-.答案:D4.(·广东)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1、F2成60°角,且F1、F2的大小分别为2和4,则F3的大小为()A.2B.2C.2D.6解析:由已知条件F1+F2+F3=0,则F3=-F1-F2因此F32=(F1+F2)2=F12+F22+2F1·F2=22+42+2×2×4cos60°=28,所以|F3|=2.答案:A二、填空题5.(·北京东城一模)已知两个向量a=(1,2),b=(x,1),若(a+2b)∥(2a-2b),则x的值为________.解析:a+2b=(1+2x,4),2a-2b=(2-2x,2),∵(a+2b)∥(2a-2b),∴(1+2x)×2-(2-2x)×4=0,∴x=.答案:6.向量a,b,c,满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.解析:解法一:由已知a·c-b·c=0,a·b=0,|a|=1,又a+b+c=0,∴a·(a+b+c)=0,即a2+a·c=0,则a·c=-1,由a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,即a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0,∴a2+b2+c2=-4c·a=4.解法二:由已知条件向量a、b、c的关系如图所示.可观察出|a|=|b|=1,|c|=,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.答案:47.(·天津)若等边的边长为2,平面内一点M满足.解析:所以答案:-2三、解答题8.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解答:(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0.整理得:x2-2x-3=0,解得:x=-1或x=3.(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0.解得:x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),∴|a-b|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)|==2;当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),∴|a-b|=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)|==2.9.(·江苏)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.解答:(1)因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|==≤4.又当β=-时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4.(3)由tanαtanβ=16得=,所以a∥b.10.(·江苏苏北四市调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.(1)求角B的大小;(2)设m=(sinA,cos2A),n=(4k,1)(k>1),且m·n的最大值是5,求k的值.解答:(1)因为(2a-c)cosB=bcosC,所以在△ABC中,由正弦定理得,(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC,即2sinAcosB=sinA.又在△ABC中,A,B∈(0,π),所以sinA>0,cosB=,则B=.(2)因为m=(sinA,cos2A),n=(4k,1)(k>1),所以m·n=4ksinA+cos2A=-2sin2A+4ksinA+1,即m·n=-2(sinA-k)2+2k2+1.又B=,所以A∈,所以sinA∈(0,1].所以当sinA=1时,m·n的最大值为4k-1.又m·n的最大值是5,所以4k-1=5,所以k=.1.已知平面上直线L的方向向量e=(-,),点O(0,0)和A(1,-2)在L上的射影分别是O1和A1,则=λe,其中λ等于()A.B.-C.2D.-2解析:解法一:λ=·=--=-2,故选D.解法二:=(1,-2),∴λ=·e=-2.答案:D2.(·改编题)如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的:若=xe1+ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量),则P点的斜坐标为(x,y).若P点的斜坐标为(3,-4),则点P到原点O的距离|OP|=________.解析:|OP|2==(3e1-4e2)2=9e-24e1·e2+16e=9-24cos60°+16=13,∴|OP|=.答案: