高中数学知识要点重温之(2)函数概念VIP免费

要点重温之函数概念、图象、性质1.一条曲线是函数图象的必要条件是：图象与平行于y轴的直线至多只有一个交点。一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域须一一对应，反应在图象上平行于X轴的直线与图象至多有一个交点。单调函数必存在反函数吗？（是的,任何函数在它的一个单调区间内总有反函数）；[举例]函数f(x)=x2-tx+2在[1,2]上有反函数，则t的一切可取值的范围是______解析：对于“连续”函数而言，函数有反函数即单调；f(x)=x2-tx+2在[1,2]上单调即区间[1,2]在对称轴x=的一侧，∴≥2或≤1，即]t≤2或t≥4。2.求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，即要求出原函数的值域。求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程。注意：x=f-1(y)一定是唯一的。[举例]函数的反函数为（A）（B）（C）（D）解析： ，∴=1+>1（关注分离常数），∴∈（0，+）又由得=，不难解出，互换后得（互换是“全面”的，表达式上换，定义域、值域也要换）故选B。3.原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图象关于y=x对称；若函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，aA,bC,f[f-1(b)]=b;f-1[f(a)]=a[举例1]已知函数的反函数的图象的对称中心是（0，2），则a=____解析：原函数是有反比例函数（奇函数）平移而来，其图象关于（a,0）对称，∴它的反函数的图象应关于（0，a）对称，即a=2[举例2]已知f(x)=x2+2x+3,(x>-1),则f-1(3)=。解析：此题不宜求反函数（麻烦），注意到3是反函数y=f-1(x)的自变量，就是原函数y=f(x)的函数值，令x2+2x+3=3，得x=0或x=-2,又x>-1，∴x=0，此即反函数的函数值f-1(3)（原函数的自变量）。[迁移]已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x-,x[,],求f-1(1)的值。4.奇函数对定义域内的任意x满足f(-x)+f(x)=0;偶函数对定义域内的任意x满足f(-x)-f(x)=0;注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于x的恒等式而不是方程。若函数f(x)是奇函数或偶函数，则f(x)定义域必关于原点对称；反之，函数定义域不关于原点对称，该函数既非奇函数也非偶函数。若f(x)是奇函数且f(0)存在，则f(0)=0；反之不然。[举例]函数f(x)=loga|x-b|是偶函数的充要条件为解析：思路一：函数f(x)=loga|x-b|是由偶函数y=loga|x|平移所得，∴函数f(x)=loga|x-b|的图象关于直线x=b对称，而它自身又是偶函数，图象又关于y轴(x=0)对称，∴b=0。思路二：f(x)=loga|x-b|是偶函数则loga|-x-b|=loga|x-b|恒成立,即|x+b|=|x-b|恒成立，∴b=0。[巩固]设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数,g(x)=是奇函数,那么a+b的值为（）A.1B.-1C.-D.5.偶函数图象关于y轴对称，推广：函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=f(a+x)函数f(x)的图象关于x=a对称，再推广：函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a+x)=f(b-x)，f(x)的图象关于x=对称。奇函数图象关于原点对称,关推广：函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=-f(a+x)函数f(x)的图象关于（a,0）对称。注意：两个函数图象之间的对称问题不同于函数自身的对称问题。函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称曲线是函数y=f(2a-x)的图象，函数y=f(x)的图象关于点（a，0）的对称曲线是函数y=-f(2a-x)的图象。，[举例1]若函数y=f(x-1)是偶函数，则y=f(x)的图象关于对称解析：思路一：y=f(x-1)是偶函数，其图象关于y轴对称，向左平移1个单位后得到函数y=f(x)的图象，对称轴也随之平移至x=-1，即函数y=f(x)的图象关于x=-1对称；思路二：y=f(x-1)是偶函数，则有f(-x-1)=f(x-1),由轴对称的等价定义知函数y=f(x)的图象关于x=-1对称。[举例2]若函数f(x)=(x-a)3满足f(1+x)=-f(1-x),则f(2)=.解析：由f(1+x)=-f(1-x)知，函数y=f(x)的图象关于（1，0）对称，事实上函数f(x)=(x-a)3的图象关于（a，0）对称，∴a=1，于是f(x)=(x-1)3，f(2)=1。[巩固]函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象A.关于y轴对称B.关于直线x=a对称C.关于点M（a，0）对称D.关于点M（-a，0）对称6.若函数f(x)满足：f(x+a)=f(x-a),则f(x)是以2a为周期的函数。注意：不要和对称性相混淆。若函数f(x)满足：f(a+x)=-f(x)(a≠0)，则f(x)是以2a为周期的函数。类似的条件还有等。[举例]已知函数满足，且当时，，则与的图象...