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全国初中数学联合竞赛试题及解析（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）2021年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算432241242（）（A）21（B）1（C）2（D）22.满足等式2221mmm的所有实数m的和为（）（A）3（B）4（C）5（D）63.已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，15CAB，ABC的平分线交圆O于点D，若3CD，则AB=（）（A）2（B）6（C）22（D）34.不定方程23725170xxyxy的全部正整数角（x,y）的组数为（）（A）1（B）2（C）3（D）45矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC=1：2，AF分别与DE，DB交于点M，N，则MN=（）（A）357（B）5514（C）9528（D）115286.设n为正整数，若不超过n的正整数中质数的个数等于合个数，则称n为“好数”，那么，所有“好数”之和为（）（A）33（B）34（C）2021（D）2021二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,xyz满足4,129,xyzxyy则23xyz2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)nn个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n=3.在ABC中，60,75,10ACAB，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则DEF的周长最小值为4.如果实数,,xyz满足2228xyzxyyzzx，用A表示,,xyyzzx的最大值，则A的最大值为第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,,,abcd满足2222223236,acbdadbc求2222abcd的值。二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连AC，若92OPAC，求PBAC的值。三、（本题满分25分）已知t是一元二次方程210xx的一个根，若正整数,,abm使得等式31atmbtmm成立，求ab的值。第二试（B）一、（本题满分20分）已知21t，若正整数,,abm使得等式17atmbtmm成立，求ab的值。二、（本题满分25分）在ABC中，AB>AC，O、I分别是ABC的外心和内心，且满足AB-AC=2OI。求证：（1）OI∥BC；（2）2AOCAOBAOISSS。三、（本题满分25分）若正数,,abc满足2222222222223222bcacababcbccaab，求代数式222222222222bcacababcbccaab的值。2021年全国初中数学联合竞赛试题解析第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算432241242（B）（A）21（B）1（C）2（D）22.满足等式2221mmm的所有实数m的和为（A）（A）3（B）4（C）5（D）63.已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，15CAB，ABC的平分线交圆O于点D，若3CD，则AB=（A）（A）2（B）6（C）22（D）34.不定方程23725170xxyxy的全部正整数角（x,y）的组数为（B）（A）1（B）2（C）3（D）45矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC=1：2，AF分别与DE，DB交于点M，N，则MN=（C）（A）357（B）5514（C）9528（D）115286.设n为正整数，若不超过n的正整数中质数的个数等于合个数，则称n为“好数”，那么，所有“好数”之和为（B）（A）33（B）34（C）2021（D）2021二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,xyz满足4,129,xyzxyy则23xyz42.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)nn个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n=83.在ABC中，60,75,10ACAB，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则DEF的周长最小值为564.如果实数,,xyz满足2228xyzxyyzzx，用A表示,,xyyzzx的最大值，则A的最大值为463第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,,,abcd满足2222223236,acbdadbc求2222abcd的值。解：设2222,mabncd，则222223223312.mnabcd因为2223232424mnmnmnmn，即21224mn，所以6mn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯○1又因为222222222222mnabcdacbdadbc2226acbdadbcadbc⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯○2由○1，○2可得6.mn即22226abcd注：符合条件的实数,,,abcd存在且不唯一，6232,1,,33abcd就是一组。二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连AC，若92OPAC，求PBAC的值。解：连OC，因为PC，PB为圆O的切线，所以∠POC=∠POB。又因为OA=OC，所以∠OCA=∠OAC。又因为∠COB=∠OCA+∠OAC，所以2∠POB=2∠OAC...