解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：DE＝DF；【方法11】(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不需说明理由)?2．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形3．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为()A．0.4cm2B．0.5cm2C．0.6cm2D．0.7cm2◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等4．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短构造全等5．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.参考答案与解析1．(1)证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE＝DF.(2)解：若∠BAC＝90°，图中与DE相等的线段有AE、AF、BE、CF、DF.2．证明：作EF⊥AC于F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝12AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.3．B解析：延长AP交BC于点D.∵BP平分∠ABC，BP⊥AD，易得AB＝BD，AP＝PD，∴S△ABP＝S△BPD，S△ACP＝S△CPD，∴S△PBC＝12S△ABC＝0.5cm2.故选B.4．证明：如图，连接CD.∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝45°，∴∠ECD＝∠B＝∠BCD，∴CD＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD(ASA)，∴DE＝DF.5．证明：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝12∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝∠DEB－∠C＝108°－36°＝72°，∠DEC＝180°－∠DEB＝180°－108°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.
