北师大版2019高中数学选修1同步讲义：空间向量与立体几何6_含答案VIP专享VIP免费

§6距离的计算学习目标1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念.2.掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点一点到直线的距离1．点到直线的距离因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题．如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量PA→在s上的投影的大小|PA→·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝|PA→|2－|PA→·s0|2.2．点到直线的距离的算法框图空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图．知识点二点到平面的距离1．求点到平面的距离如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度．而向量PA→在n上的投影的大小|PA→·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝|PA→·n0|.2．点到平面的距离的算法框图空间一点A到平面π的距离的算法框图，如图所示．知识点三直线到与它平行的平面的距离如果一条直线平行于平面α，那么直线上的各点向平面α所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面α的距离均相等．一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离．知识点四两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的公垂线．公垂线夹在两个平行平面之间的部分，叫作两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的距离．1．点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(√)2．直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．(√)3．两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．(×)4．平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．(√)类型一向量法求两点间的距离例1如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，求线段BD的长．考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离解过点D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F.则由已知条件可知AC＝5，所以DE＝3×45＝125，BF＝3×45＝125.由已知得AE＝CF＝AD2AC＝95，所以EF＝5－2×95＝75.因为DB→＝DE→＋EF→＋FB→，所以|DB→|2＝(DE→＋EF→＋FB→)2＝DE→2＋EF→2＋FB→2＋2DE→·EF→＋2DE→·FB→＋2EF→·FB→.因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DE?平面ADC，DE⊥AC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥FB，即DE→⊥FB→，所以|DB→|2＝DE→2＋EF→2＋FB→2＝14425＋4925＋14425＝33725，所以|DB→|＝3375，故线段BD的长是3375.反思与感悟(1)若题目适合建立空间直角坐标系，常建系运用空间两点距离公式求解．(2)若不具备建系条件时，常用基向量表示并结合|a|2＝a2求解．跟踪训练1(1)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1—→上且AM→＝12MC1—→，N为B1B的中点，则|MN→|等于()A.156B.66C.153D.216(2)已知线段AB，BD在平面α内，∠ABD＝120°，线段AC⊥α，如果AB＝a，BD＝b，AC＝c，则线段CD的长为()A.a2＋b2＋c2＋abB.a2＋b2＋c2－abC.a2＋b2＋c2－acD.a2＋b2＋c2考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离答案(1)D(2)A解析(1)设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝23a－13b＋16c，|MN→|＝MN→·MN→＝49a2＋19b2＋136c2＝216.(2)设AB→＝a，BD→＝b，AC→＝c，因为CD→＝CA→＋AB→＋BD→＝－c＋a＋b，所以|CD→|＝CD→·CD→＝－c＋a＋b·－c＋a＋b＝a2＋b2＋c2＋2a·b＝a2＋b2＋c2＋2|a||b|cos60°＝a2＋b2＋c2＋ab.类型二求点到直线的距离例2在棱长为2的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．考点向量法求空间距离题点向量法求点到直线的距离解以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)．所以直线EF的方向向量EF→＝(1，－2,1)；取直线EF上一点F(1,0,2)，则点A(2,0,0)到直线EF上一点F(1...