华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系导学案（无答案）1/9八年级（上）数学预学导学学案【课题内容】14.1.1直角三角形三边的关系【学习笔记】【课前预学过程】导学练习1.计算：132-122=2286229-152.如图小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积是。（你有几种方法计算）【合作探究、小组展示】问题3提问：你们对直角三角形都有哪些了解？预设问题：直角三角形的三边长之间满足怎样的等量关系呢？为什么？你能直接从图形中看出来吗？一．猜想探索，形成方法在2500年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系导学案（无答案）2/9达哥拉斯就已经对此问题有了明确的结论并给与了证明，相传他对三角形三边关系的发现竟然是从地砖中得到的，现在就让我们一同回到2500年前，体验一下毕达哥拉斯的经历：【活动1】：“地砖里的秘密？”地砖中隐含着直角三角形三边关系的什么“秘密”呢？（图1）预设问题：问题1：地砖是由全等的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形都相邻三个正方形，这三个正方形面积间有怎样的关系？你是怎样看出来的？问题2：如果用直角三角形三边长来分别表示这三个正方形的面积，又将反映三边怎样的数量关系？问题3：等腰直角三角形满足上述关系，那么一般直角三角形呢？【发现】：【活动2】勾三，股四，弦几何？鼓励学生利用毕达哥拉斯的面积方法在图2的网格图中尝试探索“勾三股四的直角三角形的弦长”．已知：Rt．4,3,90,ACBCCABC求AB的长．（图2）预设问题：（1）正方形P、Q的面积为什么易求？（2）正方形R的面积不易求的原因是什么？华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系导学案（无答案）3/9怎样将正方形R的面积转化为几个“格点图形”的面积和或差来计算呢？由此发现直角边长为3和4的直角三角形的三边具有怎样的关系？预案：已知：Rt．3,2,90,ACBCCABC求AB的长．猜想:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.【活动3】我们一起来验证！已知：Rt.,,,90,cABbACaBCCABC求证：.222cba预案1：“补”“割”“平移”“旋转”华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系导学案（无答案）4/92c可代表边长为c的正方形的面积，那么就存在一个边长为c的正方形，需要四条长为c的线段，即四个与ABC全等的直角三角形，用这样的四个三角形能拼成边长为c的正方形吗？应用代数方法能否证明222cba？试动手拼一拼，证一证.证法1：将四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形 .∴.证法2：将四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形 ..预案2：沿用面积法的思路：2a可代表边长为a的正方形的面积；2b可代表边长为b的正方形的面积；2c可代表边长为c的正方形的面积；要证明222cba，则需证明边长为a的正方形和边长为b的正方形通过“割补拼接”后得到边长为c的正方形，请尝试实验验证.方法如图所示：【历史介绍】预案1中的方法1是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的方法，人们称之为“赵爽弦图”，2002年北京召开的国际华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系导学案（无答案）5/9数学家大会就将“赵爽弦图”定为会标；预案2中的方法是我国古代的刘徽在他的《九章算术》中应用面积“出入相补”的原理给出的“青朱出入图”法.公元1世纪中国一部天文学著作《周髀算经》中记载的商高和周公的对话：周公问商高“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.”【阶段小结】以上的两种方法都不约而同地通过割补拼接的方法把直角三角形三边关系问题转化为正方形面积问题得以解决的。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变.这种原理在以后的数学学习中也会应用到.二．归纳总结，描述定理【文字语言】直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．...
