【精品】高中数学 6.2算术平均数与几何平均数（第一课时） 大纲人教版必修VIP免费

6.2算术平均数与几何平均数●课时安排2课时●从容说课本小节内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其证明，此定理在解决数学问题和实际问题中的应用等.本小节教学时间约需2课时.1.在公式a2+b2≥2ab以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）a2+b2≥2ab和abba2成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.例如(-1)2+(-4)2≥2×(-1)×(-4)成立，而)4()1(2)4()1(不成立.（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚.教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当a=b时取等号，其含义就是a=babba2；仅当a=b时取等号，其含义就是abba2a=b.综合起来，其含义就是：a=b是abba2的充要条件.2.两个正数的算术平均数与几何平均数定理可以进一步引申出定理“n个（n是大于1的整数）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”（见课本P24“小结与复习”前的“阅读材料”）.abba2的几何意义是“半径不小于半弦”（见课本P9图6-2中的几何意义及其说明）.当用公式a2+b2≥2ab，abba2证明不等式时，应该使学生认识到，它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的.因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明.3.利用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值.例如课本第3页上的引例，题中的函数x+x1600不是二次函数，要求它在定义域（0，+∞）内的最小值，仅用学生过去学过的二次函数的知识是无法解决的，现在从x与x1600的积为常数（即它们的几何平均数为常数）这一点出发，问题很容易解决了.在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应该使学生注意以下两点：（1）函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数.例如对于函数式x+x1，当x<0时，不能错误地认为关系式x+x1≥2成立，并由此得出x+x1的最小值是2.事实上，当x<0时，x+x1的最大值是-2，这是因为x<0-x>0，-x1>0-(x+x1)=(-x)+(-x1)≥2，x+x1≤-2.可以看出，最大值是-2，它在x=-1时取得.（2）函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.以上两点都是学生容易疏忽的地方，必须予以注意.4.课本在P10例2之后解决了本章引例中的问题.在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案.5.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（若a，b是正数，则abba2，当且仅当a=b时取等号），这个定理可简称为均值定理.它具体表现在：（1）均值定理的功能在于“和与积”的互化.若所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用均值定理.构造运用均值定理解题的常用技巧是拆添项或配凑因式.（2）“和定积最大，积定和最小”，即和为定理，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论须注意如下三点：①各项或各因式均正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值.必要时须作适当的变形，以满足上述前提.总之，用均值定理求函数的最大值或最小值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点，三个必要条件——即一正（各项的值为正）二定（各项的和或积为定值）三相等（取等号的条件）更是相关考题瞄准的焦点.在具体的题目中，“正数”条件往往从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值”条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解决问题成败的关键.均值定理是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不可缺...