第2章第10课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1B．2C．3D．4解析：求导运算正确的有②③，2个，故选B.答案：B2．下图中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝()A.B．－C.D．－或解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为图(3)．由图象特征知f′(0)＝0，且－a＞0，∴a＝－1.故f(－1)＝－－1＋1＝－.答案：B3．y＝x2cosx的导数是()A．2xcosx＋x2sinxB．2xcosx－x2sinxC．2xcosxD．－x2sinx解析：y′＝2xcosx－x2sinx.答案：B4．(2010·威海模拟)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()A．1B.C．－D．－1解析：∵y′＝2ax，∴y′|x＝1＝2a.即y＝ax2在点(1，a)处的切线斜率为2a.直线2x－y用心爱心专心1－6＝0的斜率为2.∵这两直线平行，∴它们的斜率相等，即2a＝2，解得a＝1.答案：A5．设函数y＝xsinx＋cosx的图象上的点(x，y)处的切线斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为()解析：k＝g(x)＝y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，故函数k＝g(x)为奇函数，排除A、C；又当x∈时，g(x)＞0，∴B正确．答案：B6．(2009·江西卷)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．4B．－C．2D．－解析：由条件知g′(1)＝2.又∵f′(x)＝[g(x)＋x2]′＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.答案：A二、填空题7．曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．解析：y′＝cosx＋ex，∴在x＝0处的切线斜率k＝y′|x＝0＝e0＋cos0＝2.又切点坐标为(0,3)，∴切线方程为y＝2x＋3.答案：y＝2x＋38．已知直线y＝kx与曲线y＝lnx有公共点，则k的最大值为________．解析：k的最大值即过原点与曲线y＝lnx相切的直线的斜率．设切点P(x0，y0)，∴y0＝lnx0.∵y′＝，∴在x0处的切线斜率为.∴＝，即＝.∴x0＝e.∴＝.用心爱心专心2∴k的最大值为.答案：9．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．解析：设P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈[－1,3]，∴0≤a≤2.而g(a)＝a2－a＋1＝2＋，当a＝时，g(a)min＝；当a＝2时，g(a)max＝3，故P点纵坐标范围是.答案：三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y＝tanx；(2)y＝x3log2x＋3x.解析：(1)(tanx)′＝′＝＝＝.(2)y′＝(x3log2x)′＋(3x)′＝(x3)′log2x＋x3(log2x)′＋3xln3＝3x2log2x＋x3·log2e＋3xln3＝3x2log2x＋x2log2e＋3xln3.11．已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a、b的值；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．【解析方法代码108001023】解析：(1)因为f′(x)＝x－(x＞0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以解得a＝2，b＝－2ln2.(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．所以有a≤1.12．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．用心爱心专心3解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，∴直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，整理得，x03＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)用心爱心专心4
