排序不等式什么是排序不等式？排序不等式有什么用？课前,请同学们阅读课本4244PP至页内容.本节,我们来认识──排序不等式.先思考一个具体的数字计算题：思考1.已知两组数1，2，3和4,5,6,若123,,ccc是4，5，6的一个排列，则123123ccc的最大值是_____,最小值是_____.分析:利用排列组合的知识可知共有6个不同的和数，本题可以直接计算比较得答案.3228如果数大一点呢?思考2.已知两组数1，2，3和45,25,30,若123,,ccc是45，25，30的一个排列，则123123ccc的最大值是_____,最小值是_____.220180可以通过直觉猜测到答案.对应关系和备注（1,2,3）（25,30,45）1112233220Sababab同序和（1,2,3）（25,45,30）2112332205Sababab乱序和（1,2,3）（30,25,45）3122133215Sababab乱序和（1,2,3）（30,45,25）4122331195Sababab乱序和（1,2,3）（45,25,30）5132132185Sababab乱序和（1,2,3）（45,30,25）6132231180Sababab反序和发现:反序和≤乱序和≤顺序和.一般地，设有两组实数：123,,,aaa…,na与123,,,bbb…,nb,且它们满足:1a≤2a≤3a≤…≤na,1b≤2b≤3b≤…≤nb,若123,,,ccc…,nc是123,,,bbb…,nb的任意一个排列,则和1122nnSacacac称为数组(123,,,aaa…,na)和(123,,,bbb…,nb)的乱序和,其中按相反顺序相乘所得积的和11211nnnSababab称为反序和.按相同顺序相乘所得积的和21122nnSababab称为顺序和.根据直觉你可以得什么不等式?即反序和≤乱序和≤顺序和.猜想:和数1122nnacacac在123,,,aaa…,na与123,,,bbb…,nb同序时最大,反序时最小,即112211221211nnnnnnnabababacacacababab≥≥,等号当且仅当12naaa或12bbnb时成立.排序原理:一般地,设有两组实数：123,,,aaa…,na与123,,,bbb…,nb,且它们满足:1a≤2a≤3a≤…≤na,1b≤2b≤3b≤…≤nb,若123,,,ccc…,nc是123,,,bbb…,nb的任意一个排列,则和1122nnSacacac称为数组(123,,,aaa…,na)和(123,,,bbb…,nb)的乱序和,其中按相反顺序相乘所得积的和11211nnnSababab称为反序和.按相同顺序相乘所得积的和21122nnSababab称为顺序和.则112211221211nnnnnnnabababacacacababab≥≥,即反序和≤乱序和≤顺序和.等号当且仅当12naaa或12bbnb时成立.试证明这个定理.(逐步调整法)例1:5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？分析:这是一个实际问题,需要将它数学化,即转化为数学问题.设第i一个接水的人需要it分钟,则5人都接满水所需的等待总时间是123455432Sttttt例2:设12,,aa…,na是n个互不相同的正整数,求证:32122211112323naaaann≤证明:取两组数222111(1,,,,)23n与（123,,,aaa…,na）设123,,,,nbbbb是123,,,aaa…,na的一个排列,且123nbbbb∵222111123n，由排序不等式得32122223naaaan≥32122223nbbbbn.∵12,,aa…,na是n个互不相同的正整数,∴12,,bb…,nb是n个互不相同的正整数,∵123nbbbb∴(1,2,3,,)ibiin≥∴32122223nbbbbn≥111123n∴32122211112323naaaann≤课堂练习:1.课本第45页第4题设123,,,aaa…,na为正数，试分别用柯西不等式与排序不等式证明：222211212231nnnnaaaaaaaaaaa≥.2.已知cba,,为正数，试用排序不等式证明：222222abbccaabcabc≥.课外训练:1.在△ABC中，ha,hb,hc为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinC≥ha+hb+hc.2.已知x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤12，求证:121(1)(1)(1)2nxxx≥．3.（IMO试题）在△ABC中,abc、、分别是三边BCACAB、、的长，求证：222()()()3abcabcabcabcabc≤．作业:课本45P第1,2题.
