高中数学人教A版必修5导学案：2.5-第1课时-等比数列的前n项和(一)VIP专享VIP免费

1【自学目标】1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn＝.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．等比数列前n项和公式的变式若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝.3．错位相减法推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40g，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．探究点一等比数列前n项和公式的推导思考1在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？思考2在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？2思考3类比求等差数列前n项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？思考4如何求等比数列{an}的前n项和Sn?例1求下列等比数列前8项的和：(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q<0.反思与感悟涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．跟踪训练1若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.探究点二等比数列前n项和的实际应用例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?跟踪训练2一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？探究点三错位相减法求和思考教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{}前n项和？3例3求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．跟踪训练3求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn为()A.B.C.D.2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于()A．2B．4C.D.3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是()A．179B．211C．243D．2754．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．[呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．4一、基础过关1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于()A.B.C.D.2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于()A．33B．72C．84D．1893．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于()A．11B．5C．－8D．－114．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于()A.B．－C.D．－5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.6．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.8．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.二、能力提升9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A．300米B．...