《2.2.2双曲线的简单几何性质》同步练习5一、选择题1．下列曲线中离心率为的是()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝12．双曲线－＝1的渐近线方程是()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为()A．2x2－4y2＝1B．2x2－4y2＝2C．2y2－4x2＝1D．2y2－4x2＝34．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.B.C．2D.二、填空题7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.11．设双曲线x2－＝1上两点A、B，AB中点M(1，2)，求直线AB的方程．12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A．B．C．D．13．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)若设直线l与y轴的交点为P，且PA＝PB，求a的值．《2.2.2双曲线的简单几何性质》同步练习5答案1．B[∵e＝，∴e2＝＝，∴＝.]2．A3．C[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]4．C[由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.]5．C[点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，则≤.]7.解析a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝.8.－＝1(x>3)解析以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．9.－＝110．解(1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1，由解得故所求的双曲线方程为－＝1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.又P与两顶点连线夹角为，所以a＝|OP|·tan＝2，所以b2＝c2－a2＝24.故所求的双曲线方程为－＝1.11．解方法一(用韦达定理解决)显然直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k，由得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1＝.得到，2-k2=k(2-k)∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.方法二(用点差法解决)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．∵x1≠x2，∴＝，∴kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1，代入x2－＝1满足Δ>0.∴直线AB的方程为y＝x＋1.12.D[设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－，·(∴－)＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．]13．解(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解，消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①∴解得－
0，∴0且e≠.∴双曲线C的离心率e的取值范围是(∪，＋∞)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵PA＝PB，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，由此可得x1＝x2.∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，∴x1＋x2＝x2＝－，x1x2＝x＝－，消去x2得－＝，即a2＝.又∵a>0，∴a＝.
