第八节二项分布及其应用条件概率的定义条件概率的性质设A、B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=_________为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)若B、C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=___________________1.条件概率及其性质PABPAP(B|A)+P(C|A)2.事件的相互独立性设A、B为两个事件,如果P(AB)=__________,则称事件A与事件B相互独立.3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,即若用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2A3…An)=_______________________.(2)二项分布在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=_______________(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)Cknpk·(1-p)n-k1.P(B|A)=P(B)在什么条件下成立?【提示】若事件A、B是相互独立事件,则P(B|A)=P(B).2.二项分布与两点分布有何关系?【提示】两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1时的二项分布.1.(教材改编题)设随机变量ξ~B(6,12),则P(ξ=3)的值是()A.316B.516C.716D.58【解析】P(ξ=3)=C36(12)3(12)6-3=516.【答案】B2.(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=()A.18B.14C.25D.12【解析】P(A)=C23+C22C25=25,P(AB)=C22C25=110,P(B|A)=PABPA=14.【答案】B3.(2011·湖北高考)如图10-8-1,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576【解析】A1,A2均不能正常工作的概率P(A1·A2)=P(A1)·P(A2)=[1-P(A1)][1-P(A2)]=0.2×0.2=0.04. K,A1,A2相互独立,∴系统正常工作的概率为P(k)[1-P(A1·A2)]=0.9×(1-0.04)=0.864.【答案】B4.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.【解析】此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮,说明该选手第2个问题回答错误,第3、第4个问题均回答正确.因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0.2×0.82=0.128.【答案】0.128(2012·揭阳质检)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①P(B)=25;②P(B|A1)=511;③事件B与事件A1相互独立;④A1,A2,A3是两两互斥的事件;⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.条件概率【思路点拨】(1)B=BA1+BA2+BA3.(2)P(BA1)=P(B|A1)·P(A1),P(BA2)=P(B|A2)·P(A2),P(BA3)=P(B|A3)P(A3).(3)可通过判断P(A1B)与P(A1)P(B)是否相等来判断事件B与A1是否相互独立.【尝试解答】显然事件A1,A2,A3两两互斥,有P(B|A1)=511,P(B|A2)=411,P(B|A3)=411,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=510×511+210×411+310×411=922.∴①错,⑤错,②、④正确.又 P(A1)=12,P(B)=922,P(A1B)=522,∴P(A1B)≠P(A1)P(B).因此事件B与事件A1不是相互独立事件,故③错误.因此①③⑤错误,②④正确.【答案】②④1.本题中找出B=A1B+A2B+A3B是解题的关键,而事件A1B,A2B,A3B的概率又借助了条件概率求解.2.求条件概率主要有两种方法:(1)利用定义,求P(A),P(AB),则P(B|A)=PABPA.(2)借助古典概型概率公式...