"【三维设计】2013届高考数学第二章第十三节导数的应用（二）课后练习人教A版"一、选择题1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是()A．0B.C.D.解析：f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，∴x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值．答案：B2．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是()A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值，又有最小值的奇函数解析：f′(x)＝x＋sinx，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx．当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．答案：D3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0≤a<1B．0
3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．解析：设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，由于a>3，则在(0,2)上f′(x)<0，f(x)为减函数，而f(0)＝1>0，f(2)＝9－4a<0，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．答案：1三、解答题8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.∴a＝2，b＝－4，c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.当x变化时，y、y′的取值及变化如下表：x－3(－3，－2)－21y′＋0－0＋y8单调递增↗13单调递减↘单调递增↗4∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.9．已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．解：(1)∵f(x)＝x2＋lnx，∴f′(x)＝2x＋.2∵x＞1时，f′(x)＞0，故f(x)在[1，e]上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋lnx，∴F′(x)＝x－2x2＋＝＝＝∵x＞1，∴F′(x)＜0，∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴F(x)＜F(1)＝－＝－＜0.即f(x)＜g(x)．∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方．10．(2012·宝鸡质检)设函数f(x)＝lnx－ax2－bx.(1)当a＝b＝时，求f(x)的最大值；(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0＜x≤3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝b＝时，f(x)＝lnx－x2－x，f′(x)＝－x－＝，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)的极大值为f(1)＝－，即f(x)的最大值是－.(2)F(x)＝lnx＋，x∈(0,3]，则有k＝F′(x0)＝≤在(0,3]上恒成立，所以a≥(－x＋x0)max，当x0＝1时，－x＋x0取得最大值.所以a≥.3
