1/5含参不等式专题（淮阳中学）编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。一、含参数的一元二次不等式的解法：1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0）例1、解关于x的不等式0)1(2axax。解：0)1)((2xax1,0)1)((xaxxax令为方程的两个根（因为a与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当1a时，不等式的解集为}1|{axxx或（2）当1a时，不等式的解集为}1|{xaxx或（3）当1a时，不等式的解集为}1|{xx综上所述：（1）当1a时，不等式的解集为}1|{axxx或（2）当1a时，不等式的解集为}1|{xaxx或（3）当1a时，不等式的解集为}1|{xx变题1、解不等式0)1(2axax；2、解不等式0)(322axaax。小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨2/5论。例2、解关于x的不等式022kkxx分析此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解)8(82kkkk(1)当02,08,02kkxxkk方程时或既有两个不相等的实根。所以不等式的解集是022kkxx：4)8(4)8(kkkxkkkx(2)当02,0802kkxxkk方程时或即有两个相等的实根，所以不等式4022kkkxx的解集是，即}0{2，；(3)当02,08,02kkxxk方程时即无实根所以不等式的022kkxx解集为。说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。小结：讨论，即讨论方程根的情况。2．二次项系数含参数（先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑0）例3、解关于x的不等式：.01)1(2xaax解：若0a，原不等式.101xx若0a，原不等式axxax10)1)(1(或.1x若0a，原不等式.0)1)(1(xax)(其解的情况应由a1与1的大小关系决定，故（1）当1a时，式)(的解集为；（2）当1a时，式)(11xa；（3）当10a时，式)(ax11.3/5综上所述，当0a时，解集为{11xaxx或}；当0a时，解集为{1xx}；当10a时，解集为{axx11}；当1a时，解集为；当1a时，解集为{11xax}.例4、解关于x的不等式：.012axax解：.012axax)(（1）0a时，.01)(Rx（2）0a时，则0042aaa或4a，此时两根为aaaax2421，aaaax2422.①当0a时，0，)(xaaaa242aaaa242；②当04a时，0，Rx)(；③当4a时，0，21)(xRx且；④当4a时，0，)(或aaaax242aaaax242.综上，可知当0a时，解集为(aaaa242,aaaa242)；当04a时，解集为R；当4a时，解集为(21,)(,21);当4a时，解集为(aaaa24,2)(,242aaaa).例5、解关于的x不等式2(1)410()mxxmR分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m）>0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不4/5等式的解集取两边。⑵当－10,图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时，⊿=4（3－m）=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410xx的根。⑷当m>3时，⊿=4（3－m）<0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。解：11,|;4mxx当时原不等式的解集为132132|,31132132|1);34014)1(12mmxmmxmmmxmmxxmmxxmm原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为21|xx；当m>3时,原不等式的解集为。小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两...
