第十二节导数的综合应用1.通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为________问题,一般地,对于实际问题,若函数在给定的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点.2.利用导数研究函数的单调性和最(极)值等离不开方程与不等式;反过来方程的根的个数,不等式的证明、不等式恒成立求参数等,又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题,利用导数进行研究.优化3.解决优化问题的基本思想函数的极大值一定比极小值大吗?【提示】极值是一个局部概念,极值的大小关系是不确定的,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.1.(教材改编题)函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是()A.(-∞,-13]B.[-13,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,0)【解析】 f′(x)=3ax2+1,依题意f′(x)=3ax2+1有两个实根,∴a<0.【答案】D2.(2011·辽宁高考)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是________.【解析】函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,而g′(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-∞,ln2)上递增,在(ln2,+∞)上递减,因而g(x)=2x-ex的值域为(-∞,2ln2-2],所以要使函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,只需a≤2ln2-2即可.【答案】(-∞,2ln2-2]3.(2012·青岛质检)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件.【解析】 y=-13x3+81x-234,∴y′=-x2+81(x>0).令y′=0得x=9,令y′<0得x>9;令y′>0得0<x<9.∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减,∴当x=9时,函数取得最大值.【答案】94.已知f(x)=1+x-sinx,试比较f(2),f(3),f(π)的大小为________.【解析】f′(x)=1-cosx,当x∈(0,π]时,f′(x)>0.∴f(x)在(0,π]上是增函数,∴f(π)>f(3)>f(2).【答案】f(π)>f(3)>f(2)已知函数f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最小值;(2)试讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的实根个数.【思路点拨】(1)求f′(x),当x∈(0,+∞)时,判定f′(x)的正负变化,求出f(x)的最值.(2)由f(x)的单调性与极值,数形结合求解.导数在方程(函数零点)中的应用【尝试解答】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=1+lnx.令f′(x)=0,∴1+lnx=0,则x=1e.当0<x<1e时,f′(x)<0,f(x)在(0,1e)上是减函数.当x>1e时,f′(x)>0,f(x)在(1e,+∞)上是增函数,∴f(x)在x=1e时取得极小值,也是函数的最小值.故f(x)min=f(1e)=1e·ln1e=-1e.(2)由(1)知当x∈(0,1e)时,f(x)取值范围是(-1e,0);当x∈(1e,+∞)时,f(x)的取值范围是(-1e,+∞).又方程f(x)-m=0的实根个数,就是函数y=f(x)的图象与直线y=m的交点个数.∴当m<-1e时,原方程无解.当m=-1e或m≥0时,原方程有唯一解.当-1e<m<0时,原方程有两个实数解.1.本题的常见错误有:(1)忽视m=-1e或m=0时,方程有唯一解的情形.(2)不能把函数的图象交点与方程的根、函数的极值间的关系建立起来.2.该类问题的求解,一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含参数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一.(2011·天津高考改编)若将例题中的函数f(x)改为“f(x)=lnx-ax2,其中a>0”,试求解下面问题.(1)求f(x)的单调区间;(2)当a=18时,是否存在唯一的实数x0∈(2,+∞),使得f(x0)=f(32),若存在,请说明理由.【解】(1)f′(x)=1x-2ax=1-2ax2x,x>0.令f′(x)=0,得1-2ax2=0, a>0,x>0,∴x=2a2a.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:x(0,2a2a)2a2a(2a2a,+∞)f′(x)+0-f(x)极大值∴f(x)的递增区间是(0,2a2a),递减区间是(2a2a,+∞).(2)当a=18时,f(x)=lnx-18x2,由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增,在(2,+∞)内单调递减.令g(x)=f(x)-f(32),由于f(x)在(0,2)内单调递增,故f(2)>f(32),即g(2)>0.取x′=32e>2,则g(x′)=41-9e232<0.由于g(x)=f(x)-f(32)在(2,+...