第十二节导数的综合应用1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为________问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数研究函数的单调性和最(极)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数，不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．优化3．解决优化问题的基本思想函数的极大值一定比极小值大吗？【提示】极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．1．(教材改编题)函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是()A．(－∞，－13]B．[－13，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，0)【解析】 f′(x)＝3ax2＋1，依题意f′(x)＝3ax2＋1有两个实根，∴a＜0.【答案】D2．(2011·辽宁高考)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．【解析】函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．【答案】(－∞，2ln2－2]3．(2012·青岛质检)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．【解析】 y＝－13x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x＞0)．令y′＝0得x＝9，令y′＜0得x＞9；令y′＞0得0＜x＜9.∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．【答案】94．已知f(x)＝1＋x－sinx，试比较f(2)，f(3)，f(π)的大小为________．【解析】f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)＞0.∴f(x)在(0，π]上是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)．【答案】f(π)＞f(3)＞f(2)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的最小值；(2)试讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的实根个数．【思路点拨】(1)求f′(x)，当x∈(0，＋∞)时，判定f′(x)的正负变化，求出f(x)的最值．(2)由f(x)的单调性与极值，数形结合求解．导数在方程(函数零点)中的应用【尝试解答】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1＋lnx.令f′(x)＝0，∴1＋lnx＝0，则x＝1e.当0＜x＜1e时，f′(x)＜0，f(x)在(0，1e)上是减函数．当x＞1e时，f′(x)＞0，f(x)在(1e，＋∞)上是增函数，∴f(x)在x＝1e时取得极小值，也是函数的最小值．故f(x)min＝f(1e)＝1e·ln1e＝－1e.(2)由(1)知当x∈(0，1e)时，f(x)取值范围是(－1e，0)；当x∈(1e，＋∞)时，f(x)的取值范围是(－1e，＋∞)．又方程f(x)－m＝0的实根个数，就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝m的交点个数．∴当m＜－1e时，原方程无解．当m＝－1e或m≥0时，原方程有唯一解．当－1e＜m＜0时，原方程有两个实数解．1．本题的常见错误有：(1)忽视m＝－1e或m＝0时，方程有唯一解的情形．(2)不能把函数的图象交点与方程的根、函数的极值间的关系建立起来．2．该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．(2011·天津高考改编)若将例题中的函数f(x)改为“f(x)＝lnx－ax2，其中a＞0”，试求解下面问题．(1)求f(x)的单调区间；(2)当a＝18时，是否存在唯一的实数x0∈(2，＋∞)，使得f(x0)＝f(32)，若存在，请说明理由．【解】(1)f′(x)＝1x－2ax＝1－2ax2x，x＞0.令f′(x)＝0，得1－2ax2＝0， a＞0，x＞0，∴x＝2a2a.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，2a2a)2a2a(2a2a，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值∴f(x)的递增区间是(0，2a2a)，递减区间是(2a2a，＋∞)．(2)当a＝18时，f(x)＝lnx－18x2，由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．令g(x)＝f(x)－f(32)，由于f(x)在(0,2)内单调递增，故f(2)＞f(32)，即g(2)＞0.取x′＝32e＞2，则g(x′)＝41－9e232＜0.由于g(x)＝f(x)－f(32)在(2，＋...
