第8章第4节一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()A.∪B.C.D.[答案]C[解析]化为＋＝1，∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为()A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±5y＝0D．5x±4y＝0[答案]A[解析]由题意知双曲线C的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a＝3，c＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D．x2＋＝1[答案]A[解析]抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝， c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A．(0,1)B.C.D.[答案]B[解析]依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c2c2，即e2＝<，又 e>0，∴0b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±4xD．y＝±x[答案]A[解析] 由椭圆的离心率e＝＝，∴＝＝，∴＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，选A.6．(文)(2010·南昌市模考)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于()A.B.C.D.[答案]A[解析]设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，故，∴，∴e＝＝.(理)(2010·北京崇文区)已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足FB·AB＝0，则椭圆的离心率等于()A.B.C.D.[答案]B[解析] FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)，FB·AB＝0，∴－ac＋b2＝0， b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0， e>0，∴e＝.7．(2010·浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若PF1·PF2＝0，则＋＝()A．2B.C.D．3[答案]A[解析]设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a′，焦距为2c，则由条件知||PF1|－|PF2||＝2a′，|PF1|＋|PF2|＝2a，将两式两边平方相加得：|PF1|2＋|PF2|2＝2(a2＋a′2)，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴a2＋a′2＝2c2，∴＋＝＋＝＝2.8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝；正确结论的个数为()A．3B．2C．1D．0[答案]A[解析] a＝2，∴△ABF1的周长为|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故①正确； F2(，0)，∴l：y＝x－，原点到l的距离d＝＝1，故②正确；将y＝x－代入＋＝1中得3x2－4x＝0，∴x1＝0，x2＝，∴|AB|＝＝，故③正确．9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]B[解析]点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．(理)F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]A[解析] PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a，∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．...
