第六节双曲线1．双曲线定义平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的__________________为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0.(1)当____________时，P点的轨迹是双曲线；(2)当_____________时，P点的轨迹是两条射线；(3)当______________时，P点不存在．距离之差的绝对值2a＜|F1F2|2a＝|F1F2|2a＞|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围__________________________________对称性对称轴：______对称中心：____对称轴：_______对称中心：_____顶点顶点坐标：A1______________，A2_________________顶点坐标：A1__________，A2_______________x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a坐标轴原点坐标轴原点(－a，0)(a，0)(0，－a)(0，a)性质渐近线___________________离心率e＝，e∈________，其中c＝______________a、b、c间的关系c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)y＝±baxy＝±abx(1，＋∞)a2＋b2a2＋b23.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为___________，离心率为_____________y＝±xe＝21．在平面内满足|PF1|－|PF2|＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)的动点P的轨迹是双曲线吗？【提示】不是双曲线．|PF1|－|PF2|＝2a，表示的几何图形只能说是离焦点F2较近的双曲线的一支．2．双曲线的离心率是怎样影响双曲线“张口”大小的？【提示】对于双曲线x2a2－y2b2＝1，由e＝ca＝1＋（ba）2知，e越大，则ba越大，即双曲线渐近线的斜率绝对值越大，从而双曲线的“张口”越大．1．(人教A版教材习题改编)设双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．1【解析】渐近线方程可化为y＝±32x. 双曲线的焦点在x轴上，∴9a2＝(±32)2，解得a＝±2.由题意知a＞0，∴a＝2.【答案】C2．(2012·福建高考)已知双曲线x2a2－y25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于()A.31414B.324C.32D.43【解析】由双曲线中a，b，c的关系c2＝a2＋b2，得32＝a2＋5，∴a2＝4.∴e＝ca＝32.【答案】C3．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF⊥2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．【解析】设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝3－1，x＋2＝3＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝23.【答案】234．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．【解析】依题意c－a＝1，①又e＝ca＝2，即c＝2a，②由①②联立，得a＝1，c＝2.∴b2＝c2－a2＝3，故双曲线C为x2－y23＝1.【答案】x2－y23＝1(1)(2012·大纲全国卷)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45(2)已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)；以点C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程．【思路点拨】(1)由双曲线定义，求△PF1F2的边长，根据余弦定理可解．(2)探求|FA|与|FB|间的关系，借助双曲线定义求轨迹方程．【尝试解答】(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝34，选C.【答案】C(2)设F(x，y)为轨迹上的任意一点，依题意，得|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|＝2a(a表示椭圆的长半轴长)．∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋（－5）2＝2，∴|FA|－|FB|＝2＜14.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，∴点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22，又C1(－4，0)，C2(4，0)，∴|C1C2|＝8，∴22＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是...
