第五节直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的___________直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_______．任意一条相交平行2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作____________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．两个半平面垂直于棱3．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内__________的直线与另一个平面垂直．直二面角垂线垂直于交线4．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在______________所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为___________．平面上的射影90°和0°1．一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，可以说这条直线和这个平面垂直吗？【提示】不可以．如果这无数条直线是平行的，则这条直线和这个平面的位置关系不确定．2．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线有什么位置关系？垂直于同一平面的两个平面呢？【提示】这两条直线平行或相交或异面；垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交．1．(人教A版教材习题改编)已知直线a，b和平面α，且ab⊥，aα⊥，则b与α的位置关系为()A．bαB．bα∥C．bα或bα∥D．b与α相交【解析】由ab⊥，aα⊥知bα或bα∥，但直线b不与α相交．【答案】C2．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的长为()A.2aB.22aC.32aD．a【解析】如图所示：取BD的中点O连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′—BD—C的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.【答案】D3．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】A显然正确，根据面面垂直的判定，B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使am⊥，bn.γ⊥ α⊥，am⊥，则aα⊥，∴al⊥，同理有bl.⊥又a∩b＝P，aγ，bγ，∴lγ.⊥故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则lα，且lβ.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．【答案】D4．(2012·浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若lα∥，lβ∥，则αβ∥B．若lα∥，lβ⊥，则αβ⊥C．若αβ⊥，lα⊥，则lβ⊥D．若αβ⊥，lα∥，则lβ⊥【解析】设α∩β＝a，若直线la∥，且lα，lβ，则lα∥，lβ∥，因此α不一定平行于β，故A错误；由于lα∥，故在α内存在直线l′l∥，又因为lβ⊥，所以l′β⊥，故αβ⊥，所以B正确；若αβ⊥，在β内作交线的垂线l，则lα⊥，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，la∥，且l不在平面α，β内，则lα∥且lβ∥，因此D错误．【答案】B(2012·广东高考)如图7－5－1所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.【尝试解答】(1)因为AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.⊥因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PHAD.⊥因为PH平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.【思路点拨】(1)证PH⊥AB，PH⊥AD.(2)连接BH，取BH的中点G，证明EG⊥平面ABCD，且EG＝12PH.(3)取PA的中点M，连接MD，ME，证明MD⊥平面PAB，MD∥EF.(2)如...
