第四节直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定(1)定义：直线与平面___________，则称直线平行于平面．(2)判定定理：若____________________，则bα.∥2．直线与平面平行的性质定理若______________________________，则ab.∥没有公共点3．面面平行的判定与性质判定性质图形1．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线有哪些位置关系？【提示】平行或异面．2．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面一定平行吗？【提示】不一定．可能平行也可能相交．1．(人教A版教材习题改编)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内可能存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α没有公共点【解析】直线a与α不平行，则直线a在α内或与α相交，当直线a在平面α内时，在α内存在与a平行的直线，B正确．【答案】B2．若直线m平面α，则条件甲：直线lα∥，是条件乙：lm∥的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 lα∥时，l与m并不一定平行，而lm∥时，l与α也不一定平行，有可能lα，∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．【答案】D3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．【解析】如图所示，连接BD交AC于F，连接EF则EF是△BDD1的中位线，∴EFBD∥1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.【答案】平行4．(2013·湛江模拟)如图7－4－1，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．【解析】由于在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝22.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝12AC＝2.【答案】2(2012·辽宁高考)如图7－4－2，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)【思路点拨】(1)法一：证明MN∥AC′；法二：取A′B′的中点P，证平面MPN∥平面A′ACC′.(2)转化法：根据S△A′MC＝S△BMC得VN—A′MC＝12VN—A′BC，从而VA′—MNC＝12VA′—NBC.【尝试解答】(1)法一连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MNAC′.∥又MN平面A′ACC′，AC′平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图．因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MPAA′∥，PNA′C′.∥所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)连接BN，由题意知，A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面B′BCC′，即A′N⊥平面NBC，故VA′—MNC＝VN—A′MC＝13S△A′MC×h，又S△A′MC＝12S△A′BC，所以VA′—MNC＝VN—A′MC＝12VN—A′BC＝12VA′—NBC＝12×13×S△NBC×A′N，因为∠BAC＝90°，BA＝AC＝2，所以BC＝B′C′＝2，S△NBC＝12BC×BB′＝12×2×1＝1，A′N＝12B′C′＝1，所以VA′—MNC＝VN—A′MC＝12×13×S△NBC×A′N＝16.如图7－4－3，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.∥【证明】如图，连接AC交BD于O，连接MO， 四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴APOM∥，则有PA∥平面BMD. 平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.如图7－4－4，已知αβ∥，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)E、F、G、H共面；(2)平面EFGH∥平面α.【思路点拨】(1)证明四边形EFGH为平行四边形即可；(2)利用面面平行的判定定理，转化为线面平行来证明．【尝试解答】(1) E、H分别是AB、DA的中点，∴EH綊12BD.同理，FG綊12BD，∴F...
