【优化探究】2013届高三数学二轮复习专题演练1-7-3第三讲圆锥曲线的综合问题一、选择题1．已知椭圆＋＝1的焦点是F1、F2，如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，则下面结论正确的是()A．P点有两个B．P点有四个C．P点不一定存在D．P点一定不存在解析：设椭圆的基本量为a，b，c，则a＝5，b＝4，c＝3.以F1F2为直径构造圆，可知圆的半径r＝c＝3<4＝b，即圆与椭圆不可能有交点，所以椭圆上一定不存在点P满足PF1⊥PF2.故选D.答案：D2．在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1，3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2，1)B．(1，2)C．(2，1)D．(－1，2)解析：由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1，2)．答案：B3．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a，0)满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，2]C．[0，2]D．(0，2)解析：设点Q的坐标为(，y0)，由|PQ|≥|a|，得y＋(－a)2≥a2，整理得y(y＋16－8a)≥0， y≥0，∴y＋16－8a≥0，即a≤2＋恒成立．而2＋的最小值为2，所以a≤2.选B.答案：B4．(2012年临沂质检)已知P是双曲线－＝1右支上的一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．6B．7C．8D．9解析：由题知双曲线的两个焦点分别是F1(－5，0)，F2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M，F1三点共线以及P，N，F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝9.答案：D5．(2012年海淀模拟)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线解析：如图1，令定点A为定圆的圆心，动点M为定圆半径AP的中点，故|AM|＝|MP|，此时M的轨迹为一个圆，圆心为A，半径为AM，故A可能．1如图2，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，在F1P上截|MP|＝|MA|， |PF1|＝r，∴|MF1|＋|PM|＝|MF1|＋|MA|＝r>|F1A|，由椭圆的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点的椭圆，故B可能．如图3，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，延长F1P到点M，使得|MP|＝|MA|，则有|MF1|－|PM|＝r，∴|MF1|－|MA|＝r<|FA|，由双曲线的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点的双曲线的右支，故C可能．如图4，定点A在定圆F上，则满足题意的点M的轨迹是以F为端点的一条射线，故D不可能．答案：D二、填空题6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点O，则k1·k2的值为________．解析：设点M(x0，y0)，A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，即k1·k2＝.又－＝1，－＝1，所以－＝0，即＝，所以k1·k2＝.又离心率为e＝2，所以k1·k2＝＝e2－1＝3.故填3.答案：37．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1、F2，点P(x0，y0)满足＋y≤1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________．解析：当P在原点处时，|PF1|＋|PF2|取得最小值2；当P在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|取得最大值2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围为[2，2]．答案：[2，2]8．(2012年济南模拟)已知抛物线y2＝2px(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a，0)，ab≠0，b2≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M1、M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M(，y0)，M1(，y1)，M2(，y2)由点A，M，M1共线可知＝，得y1＝，同理由点B，M，M2共线得y2＝.设(x，y)是直线M1M2上的点，则＝，即y1y2＝y(y1＋y2)－2px，又y1＝，y2＝，2则(2px－by)y＋2pb(a－x)y0＋2pa(by－2pa)＝0.当x＝a，y＝时上式恒成立，即定点为(a，)．答案：(a，)三、解答题9．已知平面内的动点P到定点F(1，0)和定直线x＝2的距离之比为常数.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与轨迹C交于M，N两点，直线FM与FN的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解析：(1)设P(x，y)，则＝，化简得x2＋2y2＝2，即...
