8.三角函数的几种解题策略VIP专享VIP免费

备课资讯8三角函数的几种解题策略一、构画直角三角形简化三角函数求值【例1】已知sinα＝－35，求cosα、tanα的值．解析由sinα＝－35<0，知α在第三象限或第四象限，构画直角三角形，并标注各边对应的数量(注意符号，如图)．可见当在第三象限时，.43tan,54cos,;4343tan,54cosOMMPOPOMMOPMPOMO在第四象限时当【例2】已知tanα＝－34，求sinα，cosα的值．解析由tanα＝－34<0，知α在第二象限或第四象限，构画直角三角形，并标写各边对应的数量(如图)．当α在第二象限时，.54cos,53sin,;54cos,53sinOPOMOPMPPOMOPOPM在第四象限时当点评由以上两例可见，只要由题设条件在确定的象限内画出直角三角形，标注上各边对应的数量(注意符号)，那么该角的各三角函数值便一目了然．这种方法回避了三角公式的选择、变形、讨论，以及繁琐的运算，突显了数形结合的巨大简化功能.二、常用三角变换(一)“1”的代换1的代换形式比较多，在同角公式阶段，主要是1＝sin2α＋cos2α，1＝mm(m是某个三角式)．【例3】求证：1＋2sinαcosαcos4α－sin4α＝1＋tanα1－tanα.证明左边＝(sin2α＋cos2α)＋2sinαcosα(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝(cosα＋sinα)2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝cosα＋sinαcosα－sinα(分子分母同除以cosα)＝1＋tanα1－tanα＝右边，所以原式成立．(二)齐次式关于正弦、余弦的齐次式，常化为关于正切的表达式．【例4】已知tanα＝2，求值：(1)sinα＋cosα2sinα－cosα；(2)2sinα＋cosα；(3)sin2α＋sinαcosα＋1.解析(1)这是关于sinα、cosα的一次齐次分式型，可以分子分母同除以cosα，则原式＝tanα＋12tanα－1＝2＋14－1＝1.(2)这是关于sinα、cosα的一次齐次式，可同时乘以除以cosα，则2sinα＋cosα＝cosα(2sinα＋cosαcosα)＝cosα(2tanα＋1)＝5cosα.而由tanα＝2，可求出cosα＝±55，所以当α在第一象限时，2sinα＋cosα＝5；当α在第三象限时，2sinα＋cosα＝－5.(3)注意到1＝sin2α＋cos2α，则原式＝2sin2α＋sinαcosα＋cos2α.这是关于sinα、cosα的二次齐次式．可以除以sin2α＋cos2α.则原式＝.再分子分母同除以cos2α，得原式＝2tan2α＋tanα＋11＋tan2α＝2×22＋2＋11＋22＝115.(三)三角代换求值域2222cossincoscossinsin2【例5】求函数y＝x＋1－x2的值域．分析考虑到函数定义域为[－1,1]，且有x2＋(1－x2)2＝1，容易联想到三角公式sin2θ＋cos2θ＝1，故可用三角代换法．解析设x＝sinθ，θ∈[－π2，π2]，则1－x2＝cosθ，∴y＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋π4)．∵θ∈[－π2，π2]，∴θ＋π4∈[－π4，3π4]，因而sin(θ＋π4)∈[－22，1]，2sin(θ＋π4)∈[－1，2]．故原函数的值域为[－1，2]．用同样的方法可以求出函数y＝|x|·1－x2的值域为[0，12]，你不妨试试看．【例6】已知x2＋y2＝1，x、y∈R，求z＝x2＋23xy－y2＋1的取值范围．解析设x＝cosθ，y＝sinθ(θ∈R)，则z＝cos2θ＋23cosθ·sinθ－sin2θ＋1＝cos2θ＋3sin2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1，∴－1≤z≤3.点评遇到已知x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)，求关于x，y的二次齐次式的取值范围这类问题时，常用三角代换法：可令x＝acosθ，y＝bsinθ(θ∈R)，进而转化为求较简单的函数f(θ)＝mcos2θ＋nsin2θ＋d(d为常数)的值域问题．返回