从力做的功到向量的数量积VIP专享VIP免费

平面向量平面向量的数量积及平面向量应用举例一、两个向量的夹角1．定义已知两个向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝.非零0°≤θ≤180°0°180°3．向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.二、平面向量数量积的意义1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝.2．a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的．90°a⊥b|a|·|b|·cosθ0投影|b|cosθ的乘积三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉．2．a⊥b⇔.3．a·a＝|a|2，|a|＝a·a.4．cos〈a，b〉＝.5．|a·b||a||b|.a·b＝0a·b|a|·|b|≤四、数量积的运算律1．交换律a·b＝.2．分配律(a＋b)·c＝.3．对λ∈R，λ(a·b)＝＝．b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则1．a·b＝.2．a⊥b⇔.3．|a|＝a21＋a22.4．cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.a1b1＋a2b2a1b1＋a2b2＝01．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．解析：设向量a与b的夹角为θ， a·b＝|a|·|b|·cosθ，∴cosθ＝21×4＝12，∴θ＝π3.π32．已知向量a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k等于________．解析：b＝(a＋b)－a＝(－1，k－1)． a⊥b，∴a·b＝－2＋k－1＝0.∴k＝3.33．设向量a＝(cosα，22)的模为32，则cos2α＝________.解析：由32＝cos2α＋222得cos2α＝14，所以cos2α＝2cos2α－1＝－12.－124．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，则|2a＋b|＝________.解析：因为|2a＋b|2＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝36＋4＋4×3×2×cos60°＝52，所以|2a＋b|＝213.2135．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝________.解析：由题意得λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，因为(λa＋b)⊥a，所以(λa＋b)·a＝0，所以λ＋4＋9λ＋6＝0，解得λ＝－1.－1【例1】已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12，求：(1)a与b的夹角的大小；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．解析：(1) (a－b)·(a＋b)＝12，∴|a|2－|b|2＝12，又 |a|＝1，∴|b|＝|a|2－12＝22.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，又 θ∈[0，π]，∴θ＝45°，即a与b的夹角为45°.(2) (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，∴|a－b|＝22，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，∴|a＋b|＝102，设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝a－b·a＋b|a－b||a＋b|＝1222×102＝55.规律方法求夹角时要注意：1当a，b是非坐标形式时，需求得a·b，及|a|，|b|或得出它们的关系；2若已知a，b的坐标，可直接利用公式；3两向量的夹角为锐角⇒cosθ>0，反之不一定.【例2】已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大、小值分别是________．解析：由于|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝8－4(3cosθ－sinθ)＝8－8cos(θ＋π6)，易知0≤8－8cos(θ＋π6)≤16，故|2a－b|的最大值和最小值分别为4和0.4,0规律方法利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：1|a|2＝a2＝a·a；2|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；3若a＝x，y，则|a|＝x2＋y2.【例3】已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．解析：(1) m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝3.规律方法1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠...