§2.2函数的基本性质高考数学(浙江专用)考点一函数的单调性1.(2017课标全国Ⅱ文,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)A组自主命题·浙江卷题组五年高考答案D本题考查函数定义域和函数的单调性.由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.当x<-2时,函数u=x2-2x-8单调递减,而函数y=lnu在(0,+∞)上单调递增,从而函数f(x)=ln(x2-2x-8)单调递减;当x>4时,函数u=x2-2x-8单调递增,而函数y=lnu在(0,+∞)上单调递增,从而函数f(x)=ln(x2-2x-8)单调递增.故选D.易错警示本题易忽略函数定义域而错选C.名师点睛求函数单调区间的常用方法:(1)定义法和导数法,通过解相应不等式得单调区间;(2)图象法,由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接;(3)利用复合函数“同增异减”的原则,此时需先确定每一层函数的单调性.2.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)1x答案Ay=(x-1)2仅在[1,+∞)上为增函数,排除B;y=2-x=为减函数,排除C;因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除D;y=和t=x+1均为增函数,所以y=为增函数,故选A.12xt1x3.(2018北京理,13,5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x(0,2]∈都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.答案f(x)=sinx,x[0,2](∈答案不唯一)解析本题主要考查函数的单调性及最值.根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的最小值点,且f(x)min=f(0)即可,除所给答案外,还可以举出f(x)=等.名师点睛函数的单调性是对一个区间上的任意两个变量而言的.根据题意,本题只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在[0,2]上有唯一的最小值点,而且f(x)min=f(0)即可.0,0,1,02xxx4.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.2答案13,22解析由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-),f(-)=f(),所以f(2|a-1|)>f(),所以2|a-1|<,解之得
f(),结合函数f(x)在(0,+∞)上单调递减即可求得a的取值范围.222212212322考点二函数的奇偶性与周期性1.(2018课标全国Ⅱ理,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案C本题主要考查函数的奇偶性和周期性. f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(0)=0,f(-x)=-f(x),①又 f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),②由①②得f(2+x)=-f(x),③用2+x代替x得f(4+x)=-f(2+x).④由③④得f(x)=f(x+4),∴f(x)的最小正周期为4.由于f(1-x)=f(1+x),f(1)=2,故令x=1,得f(0)=f(2)=0,令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.方法总结若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.(2)f(x+a)=(a≠0,f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.(3)f(x+a)=-(a≠0,f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.1()fx1()fx2.(2017天津理,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a0时,f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时,f(x1)>f(x2)>0,∴x1f(x1)>x2f(x2),∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2
