植英中学马婕用一张长方形纸片，每个人的长方形的大小和形状可以不一样，你能制作出一个等腰三角形吗?做一做：ABCD有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰底边顶角底角底角填一填，想一想BACD将剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角。重合的线段重合的角AB与ACBD与CD∠B与∠CAD与AD∠ADB与∠ADC∠BAD与∠CAD结论：等腰三角形ABC是一个___________图形，且______________所在直线是它的对称轴.轴对称顶角平分线底边上的中线底边上的高猜想:等腰三角形的两个底角相等。已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C性质1(等边对等角)ABC探究:还有其他的证明方法吗?D证明:过点A作BC边上的中线交BC于点D∴BD=CD∴在△ABD和△ACD中,AB=ACBD=CDAD=AD(公共边)∴△ABDACD(SSS)≌△∴∠B=C证明:过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD=CAD∠在△ABD和△ACD中,AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD(公共边)∴△ABDACD(SAS)≌△∴∠B=C∠ABCDABCD证明:过点A作ADBC⊥交BC于点D∴∠ADB=ADC=90∠°∴在RtABD△和RtA△CD中,AB=ACAD=AD(公共边)∴RtABDRtACD(HL)△≌△∴∠B=C∠性质2(等腰三角形“三线合一”的性质)ABCD等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线,底边上的高互相重合.⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____________⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°小试牛刀根据等腰三角形性质2，在△ABC中，AB=AC时（1）若ADBC⊥，则=，=∠∠（2）若AD是中线，则，=⊥∠∠（3）若AD是角平分线，则，⊥=BADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD结论：在等腰三角形中，（在ABC中，AB=AC）①∠BAD=CAD∠，②ADBC⊥，③BD=CD已知其中任意一个都可以得其它两个条件.ACBD例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=C=BDC∠∠，∠A=ABD∠（等边对等角)设∠A=x,则∠BDC=A+ABD=2x,∠∠从而∠ABC=C=BDC=2x,∠∠于是在△ABC中，有∠A+ABC+C=x+2x+2x=180°∠∠，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=C=∠72°x⌒2x⌒2x⌒⌒2x如图:在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数.ABCD26°1、如图：在△ABC中,AB=AC，BD=DC，∠1=25°，则∠C=_______.65°2、如图,在△ABC中,已知AB=AC,ADBC⊥于点D,点E在AC上,且AD=AE,若∠BAD=40°,则∠DAC=___________,EDC=______∠____.40°20°ABCDE(2)ABCD(1)140°40°40°如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB⊥于点E,DFAC⊥于点F.求证:DE=DFABCDEF证明:AB=ACB=C∵∴∠∠∵D是BC的中点∴BD=CD∵DEAB,DFAC⊥⊥BED=CFD=90°∴∠∠在△BDE和△CDF中,∠B=C∠∠BED=CFD∠BD=CD∴△BDECDF(AAS)≌△∴DE=DF谈谈你的收获！习题12.31、4题一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你们，能找出几种证明方法呢？试试看吧！如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BCABCDEF你的细心和你的耐心等于成功！如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。求证：AH=2BDABCDEH证明：∵AB=AC,AD是高,BC=2BD∴⌒1⌒2又∵BE是高，∴∠ADC=BEC=AEH∠∠=90°在△AEH和△BEC中∴△AEHBEC(ASA)≌△∴∠1+C=2+C=90°∠∠∠∴1=2∠∠︸∠AEH=BEC∠AE=BE∠1=2∠∴AH=BC∴AH=2BD
