函数的单调性与最值一、知识梳理：1、函数的单调性（1）函数的单调区间必须在定义域内
分别在两个区间上单调用“和”连接而不能用并
如：求函数的单调区间
（2）定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x10,∴当时,,函数在(－1,1)上为减函数，当时,,函数在(－1,1)上为增函数
方法二、导数法：∴当时,,函数在(－1,1)上为减函数，当时,,函数在(－1,1)上为增函数
点评：解单调性大题时只有两种合法方法：定义法和导数法
例3、函数的图象如图所示：则的单调减区间是（）解：令，则在和上为递增，所以在和由复合函数的单调性规则知，为递减，故选C例4、（1）已知是R上的减函数，那么的取值范围是（）解：在递减，，时
故选C3XYO121（2）函数在上的最大值与最小值的和为，则
解：无论和，与同增减，所以最大值与最小值的和一定是4、单调性的应用例5、已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，令，则（）解：，所以，，故选A5、综合问题例6、定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）
（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围
解：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）
又f（0）≠0，∴f（0）=1
（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1
∴f（－x）=＞0
又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0
（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0
∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）
x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1
