专题十平面向量的线性运算专题十平面向量的线性运算专题十平面向量的线性运算主干知识整合专题十│主干知识整合1．平面向量的线性运算(1)加法、减法、数乘运算．(2)三角形法则、平行四边形法则．2．两个定理(1)向量共线定理如果存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.3．核心问题(1)向量的基底运算．(2)三角形和四边形中向量的运算．要点热点探究专题十│要点热点探究►探究点一平面向量的基底的运用在不可以建立坐标系的问题中，一般都牵涉向量的基底的运算．基底是指平面内两个不共线向量，在几何图形中常见基底向量多为多边形的边上的向量．例1设e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，已知OM→＝e1，ON→＝e2，OP→＝x·OM→＋y·ON→(x，y为实数)．若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则x－y取值的集合为________．专题十│要点热点探究{1}【解析】由题意得：|OM→|＝|ON→|＝1，OM→·ON→＝12，又因为△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，所以有MP→·MN→＝0，即(OP→－OM→)·(ON→－OM→)＝0，所以((x－1)OM→＋yON→)·(ON→－OM→)＝0，得(1－x)＋y＋12(x－1－y)＝0，所以－12(x－y)＝－12，即x－y＝1，故x－y取值的集合为{1}．专题十│要点热点探究【点评】本题以OM→，ON→为基底构造一个新向量，研究向量所构成图形的特征．在处理这类问题时，关键是在于将未知向量拆分为基底向量的线性关系式，这里可以用三角形法则和平行四边形法则以及向量共线定理解题．专题十│要点热点探究设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则AE→·AF→＝________.图10－110【解析】AE→·AF→＝(AB→＋BE→)·(AC→＋CF→)＝AB→＋13BC→·AC→－13BC→＝AB→·AC→－19|BC→|2＋13BC→·(AC→－AB→)＝29|BC→|2＝29(62＋32)＝10.专题十│要点热点探究►探究点二多边形中向量的线性运算多边形中的向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件用基底表示后，再研究图形中的特征．例2如图10－2，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝1，CA＝CB＝2，若AB→·AE→＋AC→·AF→＝2，则EF→与BC→的夹角等于________．图10－2专题十│要点热点探究π3【解析】因为△ABC中，CA＝CB＝2，AB＝1，所以cos∠CAB＝12·ABAC＝14，所以AC→·AB→＝12.又因为AB→·AE→＋AC→·AF→＝2，所以AB→·(AB→＋BE→)＋AC→·(AB→＋BF→)＝2，即1＋AB→·BE→＋AC→·AB→＋AC→·BF→＝2，所以AB→·BE→＋AC→·AB→＋AC→·BF→＝1.因为BE→＝－BF→，所以－AB→·BF→＋AC→·AB→＋AC→·BF→＝1，即BF→(AC→－AB→)＋AC→·AB→＝1，所以BF→·BC→＋AC→·AB→＝1，即BF→·BC→＝1－AC→·AB→＝12，所以cos〈BF→，BC→〉＝12，故〈BF→，BC→〉＝π3，即〈EF→，BC→〉＝π3.专题十│要点热点探究【点评】本题中△ABC为确定三角形，线段EF长度为定值，但位置不定，可以绕着点B旋转，所以以AC→，AB→为基底，先建立EF→，BC→与基底的关系，再进行计算．这类问题难在未知向量与基底向量之间的关系，比较难建立，本题中关键是利用条件AB→·AE→＋AC→·AF→＝2进行转化关系．本题也可以在B点处建立直角坐标系，用坐标进行研究．专题十│要点热点探究等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当PM→·PN→＝－12时，AMMB＝________.专题十│要点热点探究3【解析】由等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AD是BC边上的高，P为AD的中点知，AD＝1，AP＝12.由PM→·PN→＝－12知(PA→＋AM→)·(PA→＋AN→)＝－12，即PA→2＋(AM→＋AN→)·PA→＋AM→·AN→＝－12.又M、N关于直线AD对称，得|AM→|×12×cos135°＋|AN→|×12×cos135°＝－34，故|AM→|＝324，所以AMMB＝3.专题十│要点热点探究►...
