高三数学重点知识解析-参数取值题型与分析教案VIP专享VIP免费

参数取值（Ⅰ）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1．已知当xR时，不等式a+cos2x<54sinx+45a恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<45aa+5要使上式恒成立，只需45aa+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,∴45aa+5>3即45a>a+2上式等价于2)2(4504502aaaa或04502aa，解得54a<8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x<54sinx+45a即a+12sin2x<54sinx+45a,令sinx=t,则t[1,1],整理得2t24t+4a+45a>0,(t[1,1])恒成立。设f(t)=2t24t+4a+45a则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在[1，1]内单调递减。只需f(1)>0,即45a>a2.(下同)例2．已知函数f(x)在定义域（，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinx≤k2sin2x≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于)2()21(sin41)1(sin12222xkkxk对于任意x∈R恒成立。不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1≤k≤1----------(3)不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2k+41≥[(sinx21)2]max=49,即k≤1或k≥2,-----------(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。例3．设直线l过点P（0，3），和椭圆xy22941顺次交于A、B两点，试求APPB的用心爱心专心1取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：APPB=BAxx，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手，APPB=BAxx已经是一个关系式，但由于有两个变量BAxx,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将BAxx,转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l垂直于x轴时，可求得51PBAP；当l与x轴不垂直时，设)(,,2211yxByxA，，直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk，解之得.4959627222,1kkkx因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑0k的情形.当0k时，4959627221kkkx，4959627222kkkx，用心爱心专心2所求量的取值范围把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA=f（k），xB=g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB=—（xA/xB）由判别式得出k的取值范围所以21xxPBAP=5929592922kkkk=59291812kkk=25929181k.由049180)54(22kk,解得952k，所以51592918112k，综上511PBAP.思路2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21xxPBAP不是关于21,xx的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,xx的对称关系式.解2：设直线l的方程为：3kxy，代...