二一般形式的柯西不等式VIP免费

一般形式介绍举例分析复习练习本课小结作业:课本41P第1、2、3题一般形式的柯西不等式课堂练习上一节课，我们认识了二维形式的柯西不等式，运用该不等式可以求一些最值及证明一些不等式.下面我们来做几个巩固练习:1.已知,ab为任意实数,求证:4422332()()()ababab≥2.设,xyR,求证:22221xyyyxxyx≥3.已知21xy,求22xy的最小值.4.设,xyR,且x+2y=36,求12xy的最小值．5.求函数2121yxx的最大值.一般形式的柯西不等式15(当12,55xy)1(12,12)4xy3(0)x根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？探究:从平面向量的几何背景能得到�≥,将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不等式:2222212121122()()()aabbabab≥,当且仅当1221abab时,等号成立.类似地,从空间向量的几何背景也能得到�≥,将空间向量的坐标代入,化简后猜想并证明结论得三维形式的柯西不等式:2222222123123112233()()()aaabbbababab≥,当且仅当,�共线时,等号成立.0,�即或存在一个实数k,使得(1,2,3)iiakbi时,等号成立.猜想柯西不等式的一般形式222222212121122()()()nnnbaaabbbababab≥②，aaaAn22221设，bbbCn22221nnbababaB22112ACB不等式就是②≥分析：)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf构造二次函数0)()()()(2222211nnbxabxabxaxf又∴二次函数fx的判别式0△≤,即2222222112212124()4()()0nnnnabababaaabbb≤。等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn222222212121122()()()nnnbaaabbbababab≥例1已知12,,,naaa都是实数，求证：222212121()nnaaaaaan≤同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景，其应用广泛。证明：22222212212(111)()(111)nnaaaaaa≥继续2答案例1已知12,,,naaa都是实数，求证：222212121()nnaaaaaan≤22221212()()nnnaaaaaa≥222212121()nnaaaaaan≤例2已知,,,abcd是不全相等的正数，证明：2222abcdabbccdda例2已知,,,abcd是不全相等的正数，证明：2222abcdabbccdda证明：222222222()()()acdbcdaabbccdda≥ ,,,abcd是不全相等的正数，abcdbcda不成立.∴222222()()abcdabbccdda2222abcdabbccdda即2223231,xyzxyz例已知求的最小值.的最小值求已知例222,1323zyxzyx141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明zyxzyxzyxzyxzyxzyx课堂练习:416.P设1212,,,1,nnxxxRxxx且求证:222121211111nnxxxxxxn≥补充练习课堂练习:416.P设1212,,,1,nnxxxRxxx且求证:222121211111nnxxxxxxn≥22212122212121221212122212(1)()111(111)(11)(111111)()11nnnnnnnnnxxxnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx≥222121211111nnxxxxxxn≥证明：补充练习:1.已知实数,,,,abcde满足8,abcde2222216,abcde求e的取值范围.2.已知,,,1,xyzRxyz且求证:14936xyz≥22222222222222:4()(1111)()()4(16)(8),6446416165160,05abcdabcdabcdeeeeeeee解即即故≥≥≥≥≤≤2答案证法一:用柯西不等式2149149()()123()36xyzxyzxyzxyzxyz≥当且仅当22211111,,,49632xyzxyz即时,等号成立.2.已知,,,1,xyzRxyz且求证:14936xyz≥.,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)...