●基础知识一、基本概念已知两个向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的，当a与b同向时，θ＝；当a与b反向时，θ＝，当a与b的夹角是时，a与b垂直，记作.数量叫做a与b的，记作，即.其中叫向量b在a方向上的投影．a在e上的投影为；a·b的几何意义：数量积a·b等于．非零夹角0°180°90°数量积(或内积)a⊥b|a|·|b|cosθa·ba·b＝|a|·|b|cosθ|b|cosθa·ea的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积二、数量和的运算律1．；2．；3．.三、常用结论1．(a±b)2＝；2．(a＋b)·(a－b)＝；3．a2＋b2＝0⇔；4．||a|－|b|||a|＋|b|.a·b＝b·a(λa)·b＝λ(a·b)＝a·λb(a＋b)·c＝a·c＋b·ca2±2a·b＋b2a2－b2a＝0且b＝0≤四、数量积的性质设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则1．e·a＝＝；2．a⊥b⇔；3．当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝.特别地，a·a＝或|a|＝；4．cosθ＝；5．|a·b|≤.注意：a·b＝0/⇒a＝0或b＝0；(a·b)·c≠a·(b·c)．a·e|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||b||a|2|a||b|设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝；a2＝；|a|＝；若a的起点(x1，y1)，终点为(x2，y2)，则|a|＝；a⊥b⇔；|a·b|≤|a|·|b|⇔．x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0●易错知识一、对数量积的定义理解不透彻．1．有四个式子：①0·a＝0；②0·a＝0；③－④|a·b|＝|a|·|b|.其中正确的序号为________．答案：②③2．在边长为2的正三角形ABC中，＝________.答案：－23．设a，b，c是非零向量，则(a·b)·c是()A．数量B．与a共线的向量C．与c共线的向量D．无意义答案：C二、应用数量积的运算律失误．4．给出下列命题：①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；④若a·b＝0，则a，b中至少有一个为0；⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立，其中正确命题的序号有________．答案：①三、用向量方法判断图形的形状失误．5．在△ABC中，已知＝8，则此三角形的形状为________．答案：正三角形6．在平行四边形ABCD中，则当(a＋b)2＝(a－b)2时，该平行四边形为________．答案：矩形●回归教材1．下列命题正确的是()A．单位向量都相等；B．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量；C．|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0；D．若a0与b0是单位向量，则a0·b0＝1；解析：A.单位向量仅仅长度相等，方向可能不同；B.当b＝0时，a与c可以为任意向量；C.|a＋b|＝|a－b|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；D.单位向量还要考虑夹角．故选C.答案：C2．判断下列各命题正确的是()A．若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；B．若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立；C．(a·b)c＝a(b·c)对任意向量a、b、c都成立；D．对任一向量a，有a2＝|a|2.解析：A. a·b＝a·c，∴|a||b|cosα＝|a||c|cosβ(其中α、β分别为a与b，a与c的夹角)． |a|≠0，∴|b|cosα＝|c|cosβ. cosα与cosβ不一定相等，∴|b|与|c|不一定相等．∴b与c也不一定相等．∴A不正确．B．若a·b＝a·c，则|a||b|cosα＝|a||c|cosβ(α、β分别为a与b，a与c的夹角)．∴|a|(|b|cosα－|c|cosβ)＝0.∴|a|＝0或|b|cosα＝|c|cosβ.当b≠c时，|b|cosα与|c|cosβ可能不相等．∴B不正确．C． (a·b)c＝(|a||b|cosα)c，a(b·c)＝a(|b||c|cosθ)(其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角)．∴(a·b)c是与c共线的向量，a(b·c)是与a共线的向量．∴C不正确，D正确．答案：D3．(教材P1612题改编)下列四个等式：①0·a＝0；②0·a＝0；③0－；④|a·b|＝|a|·|b|其中正确的个数有()A．4B．3C．2D．1解析：以上四个等式只有③是正确的．故选D.答案：D4．(2009·北京海淀一模)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－3)，则向量a与b的夹角等于()A．45°B．60°C．120°D．135°且θ[0°∈，180°]，所以θ＝135°.答案：D5．(教材P13212题改编)已知三角形ABC三个顶点坐标分别为A(5,2)，B(3,4)，C(－1，－4)，则这个三角形是()A．锐角三有形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形答案：B【例1】(20...
