6.巧用三角函数定义快速解题VIP免费

备课资讯6巧用三角函数定义快速解题三角函数的定义是整个高中三角知识体系的基础，运用三角函数的定义，我们可以很容易地得出三角函数的一些基本性质和基本关系．实际上，三角函数的定义，在求解有关同一个角的三角函数的问题中，也有着十分广泛的应用．一、利用三角函数的定义求三角函数的值【例1】已知sinθ－cosθ＝12，求sin3θ－cos3θ的值．证明设角θ的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则有x2＋y2＝1.由三角函数的定义，已知等式即为y－x＝12，两边平方，得y2＋x2－2xy＝14.∵x2＋y2＝1，∴xy＝38.于是有sin3θ－cos3θ＝y3－x3＝(y－x)(y2＋x2＋xy)＝12×1＋38＝1116.点评对于本题，我们习惯上是运用同角三角函数的基本关系式，通过三角恒等变形的方法来解决，这里，我们运用三角函数的定义，将三角问题转化为代数问题，不仅令人感到思路简捷自然，解法别开生面，而且有利于加深对三角函数概念的认识和理解，增强运用定义解题的意识，培养灵活解题的能力．【例2】已知α的终边经过点P0(－3，－4)，求2sinα＋cosα的值．解析如图，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，分别过点P，P0作x轴的垂线MP，M0P0，则结合已知条件可得：|OP0|=＝5，|M0P0|＝4，|MP|＝－y，|OM0|＝3，|OM|＝－x.由△OMP∽△OM0P0，得22)4()3(,54||||||||1sin0OPMPOPMPyycosα＝x＝x1＝－|OM||OP|＝－|OM0||OP0|＝－35，∴2sinα＋cosα＝2×－45＋－35＝－115.点评一般地，若已知角α的终边上一点P(x，y)，记r＝x2＋y2，根据三角函数的定义，容易证明：sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx，从而可以十分方便地解答有关三角函数的求值问题．二、利用三角函数的定义化简三角函数式【例3】化简1cosα·1＋tanα＋tanα·1sin2α－1(其中α为第四象限的角)．解析设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则有x2＋y2＝1.由三角函数的定义，得1cosα·1＋tanα＋tanα·1sin2α－1＝1x·1＋yx2＋yx·1y2－1＝1xx2＋y2x2＋yx1－y2y2＝1x·1|x|＋yx·|x||y|.∵α为第四象限的角，∴x>0，y<0，∴原式＝1x2－1＝1－x2x2＝yx2＝tan2α.点评运用三角函数定义，将三角函数式的化简转化为代数式的化简，其目的是化陌生为熟悉．当然，运用同角三角函数的基本关系式也能实现化简的目的，可以说是殊途同归．三、利用三角函数的定义证明三角恒等式【例4】证明：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα.证明设角θ的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则有x2＋y2＝1.由三角函数的定义，得tanαsinαtanα－sinα＝yx·yyx－y＝y1－x，tanα＋sinαtanαsinα＝yx＋yyx·y＝1＋xy∵x2＋y2＝1，∴1－x2＝y2.由此可得y1－x＝1＋xy，∴tanαsinαtanα－sinα＝sintansintan点评从上面的证明中不难发现，运用三角函数的定义证明三角恒等式，思路十分自然，操作非常方便，比起运用同角三角函数的基本关系式进行证明，既新颖又独特，富有创造性，值得提倡．【例5】已知sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝3，求证：5(sinθ－cosθ)2＝9－10sin2θ.证明由sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝3，得sinθ＋cosθ＝3(sinθ－cosθ)，即tanθ＝2.设角θ的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则有x2＋y2＝1.由三角函数的定义，得yx＝2，即y＝2x.代入x2＋y2＝1，得x2＝15.∵5(sinθ－cosθ)2＝5(y－x)2＝5(y2＋x2－2yx)＝5(1－2xy)＝5－10xy＝5－20x2＝5－20×15＝1，9－10sin2θ＝9－10y2＝9－40x2＝9－40×15＝1.∴5(sinθ－cosθ)2＝9－10sin2θ.点评这是一个关于三角条件等式的证明问题，由于已知条件与待证的等式中出现的都是同一个角θ的三角函数，当然可以运用同角三角函数的基本关系式进行证明，但这里运用三角函数的定义证明，也很简捷．综上所述，三角函数的定义不仅是研究三角函数知识体系的基础，而且也是求解三角问题的思维的出发点和重要的依据．对于有关同一个角的三角函数的问题，例如求值、化简和证明等问题，都可以考虑运用三角函数的定义来求解．因此，在三角函数的学习中，一定要注意深刻理解三角函数的定义，努力培养用定义的意识，不断提高用定义的能力．返回