备战2019届高考黄金100题系列之解三角形：专题6_三角形中的最值问题_含解析VIP专享VIP免费

I．题源探究·黄金母题【例1】海中一小岛，周围milen8.3内有暗礁，海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东70°，航行milen8以后，望见这岛在北偏东60°，如果这艘轮船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？【解析】根据题意作出如图所示，其中设C为岛所在位置，BA,是该轮船航行前后的位置，过C作ABCD于D，根据题意知，在△ABC中，8AB，20CAB，150ABC，∴CABABCACB180=10°，∠CBD=30°，由正弦定理得，ACBABCABBCsinsin，∴ACBCABABBCsinsin=10sin20sin8≈15.7560，∴CBDBCCDsin≈7.878＞3.8，∴没有触礁的危险.答：没有触礁的危险．精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第24页复习参考题A组第2题．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解与三角形有关的综合问题，是常考题型．【思路方法】根据题意画出图形，C为岛所在位置，BA,是该轮船航行前后的位置，过C作ABCD于D，根据题意知，在△ABC中，8AB，20CAB，150ABC，要判断是否触礁，即需要计算C点到直线AB的距离CD，在△ABC中利用正弦定理计算出BC,在通过解直角三角形即可求出CD．II．考场精彩·真题回放【例2】【2015高考湖南，理17】设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanabA，且B为钝角.（1）证明：2BA；（2）求sinsinAC的取值范围.（2）由（1）知，()CAB(2)2022AA，∴(0,)4A，于是sinsinsinsin(2)2ACAA=sincos2AA=22192sinsin12(sin)48AAA， 04A，∴20sin2A，因此221992(sin)2488A，由此可知sinsinAC的取值范围是29(,]28.【例3】【2014重庆高考理第10题】已知ABC的内角CBA,,满足)sin(2sinCBAA=21)sin(BAC，面积S满足CBAcbaS,,,,21分别为，记所对的边，则下列不等式成立的是（）A.8)(cbbcB.()162acabC.126abcD.1224abc【答案】A【解析】由题设得：1sin2+sin2sin22ABC1sin2+sin2B+sin22AC1sin222+sin2B+sin22BCC1sin2B+sin2sin222CBC1sin21cos2sin21-cos2B2BCC14sinsinsincoscossin2BCBCBC1sinsinsin8ABC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）由三角形面积公式1sin2sabC及正弦定理得：214sinsinsin2sRABC所以24sR,又为12s，所以248R,所以因338sinsinsinbcbcbcbcabcRABCRaa恒成立，所以8bcbc【例4】【2016高考山东理数】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.()由()知2abc,所以2222222cos22abababcCabab311842baab，当且仅当ab时，等号成立.故cosC的最小值为12.【例5】【2014全国1高考理第16题】已知cba,,分别为ABC三个内角CBA,,的对边，2a，且CbcBAbsin)()sin(sin2，则ABC面积的最大值为____________．【答案】3【解析】由2a，且CbcBAbsin)()sin(sin2，故(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，又根据正弦定理，得(ab)()(cb)abc，化简得，222bcabc，故222bca1cosA2bc2，所以0A60，又22bc4bcbc，故1SbcsinA32BAC．【例6】【2016年高考北京理数】在ABC中，2222acbac.（1）求B的大小；（2）求2coscosAC的最大值.【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理和三角公式求与三角形有关的三角式的范围问题，考查运算求解能力，是中档题．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等，考查学生利用正余弦定理及相关知识解决与三角形有关的综合问题．【难点中心】解答此类问题的关键是熟练学三角恒等变形能力，形成解题的模式和套路III．理论基础·解题原理考点一三角形中的不等关系1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2.任一角都大于00而小于1800,任意两角之和也是大于00而小于1800;33..设角A是一三角形的内角,则1sin0A;4.在锐角三角形中,任意两角之和也是大于900而小于1800;5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边考点二与三角形有关的综合问题类型常以三角形中的不等和最值问题为载体，考查运用三角变换、正余弦定理、基本不等式、平面向量等知识和方法求取值范围或值域或求值，要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力。对这类问题要认证读题，利用相关知识将条件转化为三角形的边角条件，利用正余弦定理，将问题转化为三角形的纯边或纯角的函数问题，再利用基本不等式或函数求值域的方法处...