小升初奥数—排列组合问题VIP免费

实用标准文档小升初奥数—排列组合问题一、排列组合的应用【例1】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。【解析】（1）775040P（种）。（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P=1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P(种)．（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400PP（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。【例2】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【例3】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】设A:BCDE是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26P种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27P种选法，所以共有26P×27P=1260种选法。从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。【例4】4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；实用标准文档⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．【解析】⑴先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随意排，也就是8个元素全排列的问题，有888765432140320P(种)选择．由乘法原理，共有640320241920(种)排法．⑵甲、乙先排，有22212P(种)排法；剩下的7个人随意排，有7776543215040P(种)排法．由乘法原理，共有2504010080(种)排法．⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有22212P(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有44432124P(种)和5554321120P(种)排法．由乘法原理，共有2241205760(种)排法．⑷先排4名男生，有44432124P(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有5554321120P(种)排法．由乘法原理，一共有241202880(种)排法。【例5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】⑴先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有777!76543215040P(种)方法．第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节目全排列的问题，有444!432124P(种)方法．根据乘法原理，一共有504024120960(...