第1页共18页复变函数论复变函数：若在复数平面上存在一个点集E，对于E中的每一点z，按照一定的规律，有一个或多个复数值w与之相对应，则说在点集E上定义了一个复变函数，记作：)(zfw，点集E叫作函数的定义域令：ivuzfw)(，并将iyxz代入，则有：),(),()()(yxivyxuzfwivuzfwiyxz初等复变函数：指数函数：)sin(cosyiyeeeeexiyxiyxz三角函数：izizeeiz21sin,zzzcossintan,zzzsincoscot1）因为zzsin)2sin(，zzcos)2cos(，所以zsin，zcos具有实周期22）zsin，zcos为无界函数。3）212121sinsincoscos)cos(zzzzzz212121sincoscossin)sin(zzzzzz1cossin22zz双曲线函数：zzeeshz21，zzeechz21，chzshzthz对数函数：iArgzzLnzivuwln幂函数：为复常数）（ArgzizLnzeeezln一般指数函数：为复常数）（ziArgzzLnzeeeln复变函数的导数：设函数)(zfw是在区域E上定义的单值函数，对于E上的某点z，如果极限zzfzzfzwzz)()(limlim00存在，则称函数)(zfw在点z处可导，此极限叫作函数)(zfw在点z处的导数，表示为:)()()()(limlim00zfdzzdfzzfzzfzwzz复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(yxivyxuzfw可导的充要条件是偏导数第2页共18页xyxu),(，yyxu),(，xyxv),(，yyxv),(存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：yyxvxyxu),(),(，xyxvyyxu),(),(解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数)(zf在0z点及其邻域内处处可导，那么称)(zf在0z点解析。如果)(zf在区域E内每一点都解析，那么称)(zf在E内解析，或称()fz为E内的一个解析函数。注：)(zf在某点0z解析在该点可导该点连续该点有极限区域解析区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数.●设给定二元调和函数),(yxu，作为解析函数ivuzf)(的实部，由柯西-黎曼条件可求出相应的虚部，进而确定这个解析函数。设二元函数),(yxv的全微分式为：dyyvdxxvdv考虑柯西-黎曼条件可得：dyxudxyudv),(yxv的三种计算方法：（1）曲线积分法：全微分的线积分与路径无关，可选取特殊路径积分，使积分容易求出（2）凑全微分显式法：把dyxudxyudv凑成全微分的显式，求出),(yxv。（3）不定积分法例题.已知解析函数)(zf的实部22),(yxyxu，求虚部和这个解析函数容易验证22),(yxyxu为调和函数：022),(),(2222yyxuxyxu由柯西-黎曼条件可得：yyyxuxyxv2),(),(xxyxuyyxv2),(),(所以有：xdyydxdyyvdxxvdv22(1)曲线积分法：第3页共18页图1取如图1所示的积分路径，可求出积分CxyCxdyydxCxdyydxxdyydxvyxxyxxx2222222),()0,(),()0,()0,()0,0(其中C为积分常数。(2)凑全微分显式法：)2(22xydxdyydxdyyvdxxvdv所以有;Cxyv2(3)不定积分法：xyyxv2),(，yxyxv2),(把x视为参数，xyyxv2),(对y积分可得：)(2)(2xxyxxdyv对)(2xxyv求偏导数)(2xyvx与yxyxv2),(向比较可得：Cxx)(0)(所以由)(2)(2xxyxxdyv可得：Cxyv2所以有：iCzCxyiyxyxivyxuzf222)2()(),(),()(可把2zzx,izzy2代入上式求出复变函数积分:复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：lllldyyxudxyxvidyyxvdxyxuidydxyxivyxudzzf),(),(),(),())](,(),([)(若曲线l由参数方程)(txx，)(tyy，21ttt给出则有dttyidttxdttzidydxdz)()()(，可得积分的计算公式),(yx)0,(xxyO第4页共18页dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudttyitxtytxivtytxudttztytxivtytxuidydxyxivyxudzzfttttttttll})()](),([)()](),([{)}()](),([)()](),([{)]()()]}[(),([)](),([{)()]}(),([)](),([{))](,(),([)(21212121高阶导数公式设)(zf在区域E内是解析的，在闭区域E上是连续的，l为E的边界，对于区域E内的任一点z，)(zf可以求导任意多次，第n阶导数可表示为：dzfinzflnn1)()()(2!)(上式可看作在柯西公式ldzfizf)(21)(对z求n次导，其中等式右边在积分号内对zf)(关于z求n次导。幂级数：nnnnnzzczzcczzc)()()(001000其中：系数nc和固定点0z都是复常数，z是一个复变量幂级数收敛半径的比值判别法（达朗贝尔判别法）：Rccnnn1lim幂级数收敛半径的根式判别法（柯西判别法）：1limnnncR奇点法：幂级数中心0z到最近奇点的距离即为收敛圆的半径R收敛圆：Rzz0泰勒级数：定理：...
