1专题九：二次函数之定值问题•坐标为定值例题1:抛物线y=x2+bx+c与x轴负半轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点C．(1)如图1,若OB=2OA=2OC①求抛物线的解析式；②若M是第一象限抛物线上一点，若cosZMAC=-爭■，求M点坐标.(2)如图2,直线EF〃x轴与抛物线相交于E、F两点，P为EF下方抛物线上一点，且P(m,-2).若ZEPF=90°,则EF所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由.图122(2)如图2,P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线L与抛物线有且只有一个公共点，L交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若ZBAO=ZPCD，求证：AC=2AD；(3)如图3,以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角ZMAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标.3•线段之和为定值例题1：如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1,0)，与y轴交于点C(0,-3).1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，连接AC,点P在抛物线上且满足ZPAB=2ZAC0.求点P的坐标；(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.4练习1:抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C,点P在抛物线上，且位于x轴下方．(1)若P(1,-3)、B(4,0),①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足ZDPO=ZPOB,求点D的坐标；(2)如图，在(1)中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点，点P运动时，OE+OF是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．5•面积为定值例题1:如图，已知抛物线交X轴于A.B两点，交y轴于C点，A点坐标为（-1,0）,OC=2,OB=3，点D为抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M］、M2、M3使得△MFC'AMQBC'AMBBC的面积均为定值S,求出定值S及M］、M2、M3这三个点的坐标.I-C\丿耳0B\-V6练习1.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0)(1)求c的值；(2)求a的取值范围；(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记APCD的面积为S],△PAB的面积为S2,当Ovavl时，求证：S]-S2为常数，并求出该常数。7•比例为定值例题1:如图，已知抛物线y=ax2—2V3ax—9a与坐标轴交于A,B,C三点，其中C(0,3),ZBAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线I与射线AC,AB分别交于点M,N.ta-1\N、4/0\(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若APAD为等腰三角形，求出点P坐标;(3)证明：当直线I绕点D旋转时，丄+丄均为定值，并求出该定值.AMAN8练习1.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=5x+m(m为常数)4的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且aH0)经过A,C两点，并与x轴的正半轴交于点B．(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；(3)若P是抛物线对称轴上使AACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M](X],yx),M2(x2,y2)两点，试探究是否为定值，并写出探究过程.M1M2
