立体几何复习VIP专享VIP免费

本章小结25年1月9日知识网络构建热点专题一、平行关系判定线面平行的方法有：①线面平行的判定定理；②平面与平面平行的性质定理．判定两个平面平行的方法有：①定义法；②利用判定定理；③利用判定定理的推论；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤平行于同一平面的两个平面互相平行．[例1]已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n[分析]举反例是解决本题的方法．[解]A项m与n可能相交，可能异面，故不正确；B项α与β可能是相交平面，故不正确；C项α、β有可能相交，故不正确；D项同时和一个平面垂直的两条直线互相平行，故正确．[答案]D[点评]解选择题要灵活，不要小题大做，只要能得出正确结果就可以，常采用筛选法，排除法，代入验证法等方法求解．[例2]如图1，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.图1[证明]连结CD1、AD1， P、Q分别是CC1、C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1⊄平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又 D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，且AD1⊄平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又 AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ， AC⊂平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.二、垂直关系立体几何中的垂直问题有三类：一是线线垂直，空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形，判断的依据是两直线所成的角是直角，或者由线面垂直推出线线垂直；二是线面垂直，利用线面垂直的定义、判定定理、平面与平面垂直的性质来判定线面垂直；由线面垂直可以得出线线垂直等；三是面面垂直，利用直二面角和面面垂直的判定定理判定两个平面垂直；由面面垂直可以得出线面垂直和线线垂直，垂直关系的转化：[例3]如图2所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．图2[证明](1) 在菱形ABCD中，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)连结PG，如图3， △PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，∴AD⊥平面PGB. PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.图3(3)解：当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明：在△PBC中，EF∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(2)推知PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.[点评]直线和平面垂直，平面和平面垂直，既可从直线和平面、平面和平面的交角为90°来论证，又可从已有的线线垂直，线面垂直关系来推理和论证．要注意线线垂直、线面垂直和面面垂直的转化．三、空间角的计算(1)空间角一般指两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．(2)空间角的一般求法①异面直线所成的角的求法一般有如下两种：a．平移相交法：即根据定义，把异面直线中的一条或两条进行平移，并使其相交，作出异面直线所成的角，然后利用三角形边角关系求角的大小．b．线面垂直法：在有些情况下，可以通过判断一条直线与另一条直线所在的平面垂直，从而得到两异面直线所成的角为直角．②直线与平面所成的角：定义法．③二面角的平面角的求法a．定义法；b.作棱的垂面法．[例4]如图4，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．图4图5[解](1) A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥AB且AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又 OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，sin∠OAC＝OCAC＝12，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)作OE⊥BC，平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD...