内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习：函数与方程、函数的应用主干知识整合1．函数的零点方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．二分法用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第二步：求区间[a，b]的中点c；第三步：计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．3．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．要点热点探究探究点一函数的零点和方程根的分布例1(1)[2011·天津卷]对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A．(－∞，－2]∪B．(－∞，－2]∪C.∪D.∪(2)[2011·山东卷]已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.(1)B(2)2【解析】(1)f(x)＝＝则f(x)的图象如图． y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，由图象知c≤－2，或－1
1>loga2，b－3<10)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以解得a＝2，b＝－2ln2.(2)当a＝0时，f(x)在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解．当a<0时，f′(x)＝x－>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数．因为f(1)＝>0，f＝e－1<0，所以方程有唯一解．当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，因为当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)在(0，)内为减函数；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)内为增函数．所以当x＝时，有极小值，即最小值f()＝a－aln＝a(1－lna)，当a∈(0，e)时，f()＝a(1－lna)>0，此方程无解；当a＝e时，f()＝a(1－lna)＝0.此方程有唯一解x＝，当a∈(e，＋∞)时，f()＝a(1－lna)<0，因为f(1)＝>0且1<，所以方程f(x)＝0在区间(0，)上有唯一解，因为当x>1时，(x－lnx)′>0，所以x－lnx>1，所以x>lnx，f(x)＝x2－alnx>x2－ax.因为2a>>1，所以f(2a)>(2a)2－2a2＝0，所以方程f(x)＝0在区间(，＋∞)上有唯一解．所以方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两解．综上所述：当a∈[0，e)时，方程无解；当a<0或a＝e时，方程有唯一解；当a>e时方程有两解．【点评】含有参数的方程根的个数问题，需要重点研究三个方面的问题：一是函数的单调性；二是函数极值点的值的正负；三是区间端点的值的正负．探究点二二分法求方程的近似解例2用二分法求方程lnx＝在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是________．【分析】只要计算三个点x＝1,1.5,2的函数值，然后根据函数零...
