高中数学 第一章 立体几何初步 4 4.2 空间图形的公理（2）课时跟踪检测 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题VIP免费

4.2空间图形的公理(2)课时跟踪检测一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交解析：a与c不可能平行，若a∥c，由已知a∥b，则b∥c与b∩c＝A矛盾．a与c异面、相交都有可能．答案：D2．有两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等B．相似C．有一个角相等D．无法判断答案：B3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是()A．OB∥O1B1且OB与O1B1方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：如图，在正方体中，OB与O1B1不平行，若它们在同一平面内，则OB∥O1B1.答案：D4．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有()A．2对B．3对C．4对D．6对解析：PA与BC，PB与AC，PC与AB.答案：B5．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析：A中PQ∥RS；B中PQ∥RS；C中PQ与RS异面；D中PQ与RS相交．答案：C6．如图所示，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论不正确的是()A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形C．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形D．当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形解析：∵＝＝λ，∴EH∥BD且EH＝λBD.同理FG∥BD，且FG＝μBD，∴EH∥FG.当λ＝μ时，EH＝FG.∴此时四边形EFGH是平行四边形．∴A，C正确，D错；当λ≠μ时，EH≠FG，此时四边形EFGH是梯形，∴B正确．答案：D二、填空题7．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线B1D与BC1所成的角为________．解析：取CD的中点E，连接B1C交BC1于F，连接EF，则EF∥B1D.异面直线B1D与BC1所成的角即为EF与BC1所成的锐角或直角，显然EF⊥BC1，∴所求角为90°.答案：90°8．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．解析：将展开图恢复成正方体如图所示．由图知异面直线有：AB与CD，EF与GH，AB与GH.答案：39．如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．解析：△BCD中，＝＝，∴GF∥BD，＝.∴FG＝4cm，在△ABD中，点E，H是中点，∴EH＝BD＝3cm，设EH，FG间的距离为dcm，则×(4＋3)×d＝28，∴d＝8cm.答案：8cm三、解答题10．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．证明：连接AC，由正方体的性质可知：AA′\s\do3(═)CC′，∴四边形AA′C′C为平行四边形，∴A′C′\s\do3(═)AC.又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′.∴四边形MNA′C′是梯形．11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角或其补角．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，所以BE＝＝.在Rt△AEF中，AC＝1，AF＝，AE＝，所以EF＝.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，所以BF＝.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角的大小．解：取CN的中点K，连接A1K，MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN，所以∠A1MK或其补角为异面直线A1M与DN所成的角，连接A1C1，AM.设正方体棱长为4.则A1K＝＝，MK＝DN＝＝，A1M＝＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.13．如图所示，点P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE∥AC，DE＝AC.证明：连接PD，PE并延长分别交AB，BC于点M，N，∵D，E分别是△PAB，△PBC的重心，∴M，N分别是AB，BC的中点．连接MN，则MN∥AC且MN＝AC.△PMN中，因为＝＝，所以DE∥MN且DE＝MN.综上得：DE∥AC且DE＝MN＝AC.