例谈立体几何中距离与角的向量求法 学法指导 不分版本VIP专享VIP免费

例谈立体几何中距离与角的向量求法张黎庆用向量方法探求立体几何问题，是高中数学新教材的一大改革，《高中数学课程标准》指出：立体几何教学采用传统的综合法与向量法相结合，以向量法为主，这充分体现向量的工具作用。本文就立体几何中距离与角的向量求法举例说明，供参考。一、求距离例1（2003年联赛山东预赛，19）如图1，已知正方体的棱长为2，点E是棱CD的中点，求异面直线的距离。图1解：以DA、DC、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2）、C1（0，2，2）、B1（2，2，2）、E（0，1，0），=（－2，2，0），=（－2，－1，－2），=（0，2，0），设=（x，y，z）是异面直线和的公垂线的一个方向向量，则=0，=0令x=1，得=（1，1，），异面直线的距离注：利用向量求异面直线的距离，可避免作辅助线等复杂的推理，且过程简捷，其理论依据是：如图2，设AC是异面直线AB与CD的公垂线，则AB与CD间的距离，就是向量在公垂线方向向量上的射影长度，即用心爱心专心115号编辑1图2例2长方体中，AB=2，AD=1，，E、F分别是棱、DC的中点，求点E到平面的距离。解：如图3，以D点为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，3）、D1（0，0，3）、F（0，1，0）、E（1，2，）。图3=（－1，0，0），=（0，1，－3），设平面的法向量为=（x，y，z）。由=0，，得令z=1，得=（0，3，1）又=（0，2，），点E到平面的距离为。注：传统方法求点到平面的距离主要是求作点到平面的垂线段，再计算垂线段的长度，或利用等体积的方法。利用向量方法的理论依据：设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且。则点P到平面α的距离为。二、求解例3如图4，直棱柱中，已知∠ABC=90°，AB=a，BC=b，BB1=c，M、N分别为B1C1和AC的中点。（1）求异面直线AB1与BC1所成的角；（2）求MN的长；（3）求MN与底面ABC所成的角。用心爱心专心115号编辑2图4解：（1）以B为原点，BA、BC、BB1所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A（a，0，0）、B1（0，0，c）、C1（0，b，c）、=（－a，0，c），=（0，b，c）所以，异面直线AB1与BC1所成的角为（2）由M、N分别为B1C1和AC的中点，得M（0，，c）、N（，，0）（3）过M作MP⊥BC于点P，则P为BC的中点，连结PN，则∠MNP为MN与底面ABC所成的角。=（，0，c），P（0，，0），=（，0，0）故MN与底面ABC所成的角为例4如图5，直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形∠BAD=∠ABC=90°，BC=2，AD=8，AB=4，异面直线AC1与A1D互相垂直，求：A1D与面ADC1B1所成的角。用心爱心专心115号编辑3图5解：以A为原点，AB、AD、AA1所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=a，则A（0，0，0）、B（0，0，a）、D（0，8，0）、C1（4，2，a）、=（4，2，a）、=（0，8，－a），由得，即a=4。设平面ABC1B1的法向量=（x,y,z），则=0，，又=（0，8，0），=（4，0，4）因此取x=1，得=（1，0，－1），又=（0，8，－4），设与面所成的角为θ，则=，。即A1D与面ADC1B1所成的角为例5（2003年全国高考理科18题）如图6，在直棱柱中，底面是等腰直角三角形，∠ABC=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用图反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离。图6解：以C为原点，CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图，设CA=2a，则A（2a，0，0）、B（0，2a，0）、D（0，0，1）、A1（2a，0，2）、E（a，a，1）、G（，，）。用心爱心专心115号编辑4所以=（，，），=（0，－2a，1），解得a=1，因此，平面ABD的法向量为=（，，），=（2，－2，2）设A1B与平面ABD所成角为θ，则所以，A1B与平面ABD所成角为又设平面AED的法向量为=（x,y,z），=（－2，0，1），=（－1，－1，0）由，得令x=1，得=（1，－1，2），=（－1，1，－1）则点A1到平面AED的距离例6（2001年高考题改编）如图7，四棱锥S－ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ABC=90°，SA=BC=AB=1，AD=2，SA⊥底面ABCD，求面SCD与面SAB所成二面角余弦值的大小。图7解：以A为原点，AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直...