(九)幂函数、指数函数与对数函数一、学习要点(一)、幂函数1．幂函数:函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理数n的情况）．2.幂函数的定义域幂函数（n是有理数）的定义域：(1)当n为正整数时，(2)当n为零或负整数时，x∈R，x≠0；（3）当为正分数或负分数（是互质的正整数，）时，的意义分别是或幂函数的定义域分别是使或有意义的实数x的集合．3.幂函数的图象4．幂函数的性质(1)当n＞0时①图象都通过（0，0）、（1，1）点；②在第一象限内是增函数．(2)当n＜0时①图象都过（1，1）点；②在第一象限内是减函数；③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．（二）、指数函数1．定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R，2）函数的值域为，3）当时函数为减函数，当时函数为增函数.2．函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴），3）对于相同的，函数的图象关于轴对称.3．函数值的变化特征：①，②，③①，②，③，（三）、对数函数①1）定义：函数称对数函数，函数的定义域为，2）函数的值域为R，3）当时函数为减函数，当时函数为增函数，4）对数函数与指数函数互为反函数.②1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）.4）对于相同的，函数的图象关于轴对称.③函数值的变化特征：二、学习要点：1．熟练掌握幂函数y＝xa(a为有理数)的性质和图象之间的关系；2．理解当a>0与a<0时，幂函数在第一象限的图象和增减性并运用它进一步分析解决有关幂函数的问题；3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.①，②，③.①，②，③.6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等.三、例题分析例1．一个幂函数y＝f(x)的图象过点(3,),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8,－2),求不等式的解集。例2．（1）已知幂函数97222)199(mmxmmy的图象不过原点，则m的值为_________。（2）．当x∈（1，+∞）时，函数axy的图象恒在y=x的下方，则a的取值范围是_________。（3）．函数562xxy的减区间_________。例3（1）若,则A．B．C．D．（2）函数图象的对称轴为，则为A．B．C．D．（3）时，不等式恒成立，则的取值范围A．B．C．D．（4）已知函数的值域为，则的范围是（）A．B．C．D．例4．比较大小（1）；（2）（3）其中例5．对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数的取值范围；（3）若函数在内有意义，求实数的取值范围；（4）若函数的定义域为，求实数的值；（5）若函数的值域为，求实数的值；（6）若函数在内为增函数，求实数的取值范围.例6．若关于的方程有实根，求的取值范围。变式1：设有两个命题：①关于的方程有解；②函数是减函数。当①与②至少有一个真命题时，实数的取值范围是＿＿变式2：方程的两根均大于1，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿。例7．已知函数，（1）讨论的奇偶性与单调性；（2）若不等式的解集为的值；四、练习1．如图中函数21xy的图象大致是()2．函数3xy与31xy的图象（）。A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称3．212.1a，219.0b，211.1c的大小关系是A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a4.函数的图象不经过第二象限，则有A．B...
