课时分层作业(五)空间图形的公理4及等角定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交D[a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．]2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B[∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.]3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条B[由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．]4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交或异面都有可能D[当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．]5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交B[假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)．c与b可能相交或异面．]二、填空题6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.一定成立的是________．③[ AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.]7．在空间四边形ABCD中，如图所示，＝，＝，则EH与FG的位置关系是________．平行[如图，连接BD，在△ABD中，＝，则EH∥BD，同理可得FG∥BD.∴EH∥FG.]8．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是______．90°[ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠PAB是异面直线PA与CD所成的角．又 PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.]三、解答题9．如图所示，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解]如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角． GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.10．长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明](1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1， A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2) ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直D[将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．]2．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°B[连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.]3．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．①②[结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．]4．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________；(2)AA1与B1C所成的角的度数为________．(1)90°(2)45°[(1) AA1∥DD1，∴∠DD1C1即为所求的角． ∠DD1C1＝90°，∴AA1与C1D1所成的角为90°.(2) AA1∥BB1，∴∠BB1C即为所求的角． ∠BB1C＝45°，∴AA1与B1C所成的角为45°.]5．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面...
