高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.3 球的表面积和体积训练案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题VIP免费

1.7.3球的表面积和体积[A.基础达标]1．用一平面去截体积为4π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为()A．2B.C.D．1解析：选C.由已知得球的半径为R＝，又πr2＝π，所以r＝1，所以d＝＝.2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．9π＋42B．36π＋18C.π＋12D.π＋18解析：选D.由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V球＝π·()3＝，V长方体＝2×3×3＝18.所以V总＝π＋18.3．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()A．12πB．24πC．32πD．48π解析：选D.由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为×4＝4，即球的半径为2，所以该球的表面积是4π(2)2＝48π.4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10πC．11πD．12π解析：选D.由三视图可知该几何体上面是个球，下面是个圆柱，由已知数据得表面积S＝S球＋S圆柱＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为()A.B.C.D.解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体PCDE，我们容易求得该正四面体外接球半径为，所以外接球的体积V＝π＝.6．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球的表面积为________．解析：如图所示为过长方体的一条体对角线AB的截面．设长方体中有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已知有解得所以球的半径R＝AB＝＝.所以S球＝4πR2＝9π.答案：9π7．一个圆柱的底面直径和高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、球的体积之比为________．解析：设球的半径为R，则由已知得V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V球＝πR3，所以，V圆柱∶V球＝2πR3∶πR3＝3∶2.答案：3∶28．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2等于球的直径，则球的半径是，则此球的体积为π()3＝π.答案：π9．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为hcm，半径为rcm.试管的容量为108πcm3，半球部分容量为全试管容量的.(1)求r和h；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4cm处，求水的体积．解：(1)因为半球部分容量为全试管容量的，所以半球部分与圆柱体部分容量比为，即＝，所以h＝r，πr3×＝108π×，所以r＝3(cm)，h＝10(cm)．(2)V＝πr3×＋πr2×(h－4)＝π×33×＋π×32×6＝72π(cm3)．10．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解：设正方体的棱长为a.如图所示．图(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2.图(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2.图(3)中正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.[B.能力提升]1．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为()A．64πB．32πC．16πD．8π解析：选A.如图，过正三棱锥PABC的顶点P作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，|PM|＝6，连接AM，AO，则|OP|＝|OA|＝R，在Rt△OAM中，|OM|＝6－R，又|AB|＝6，且△ABC为等边三角形，故|AM|＝＝2，则R2－(6－R)2＝(2)2，则R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝64π.2．三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为()A.πB.πC．3πD．12π解析：选C.由题意可知SB⊥BC，SA⊥AC，则S...